余弦定理の拡張

 

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定理

四面体において、4つの面の面積 , (  ) と、二つの面のなす角  ( から2つ取る組合せ )を、以下のように定義する。

  , , ,

   (を含む平面)(を含む平面)のなす角

   (を含む平面)(を含む平面)のなす角

   (を含む平面)(を含む平面)のなす角

   (を含む平面)(を含む平面)のなす角

   (を含む平面)(を含む平面)のなす角

   (を含む平面)(を含む平面)のなす角

 

 このとき、次の関係が成り立つ。

  

 

 

 

                        D

 

 

 

 


      B

                      C

[証明]

  頂点から、△に下ろした垂線の足をとする。が△の内部にあるときも、外部にあるときも、

 

   

 

が成り立つ。したがって、

    …  @

となる。

 同様にして、

   

   

   

これらから、

     … A

     … B

     … C

@の右辺にABCを代入すると

が得られる。

 

 

系(4平方の定理) 

 四面体において、のとき、

, , , の面積を、それぞれ、, ,,とすると、

   

がなりたつ。

 

最初の定理は、平面の三角形に対する余弦定理の拡張になっているが、さらに、n次元への拡張が可能であり、その系としてn平方の定理も成り立つ。

 

 

 

 

 

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