余弦定理の拡張

 

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定理

四面体において、４つの面の面積 , (  ) と、二つの面のなす角  ( はから2つ取る組合せ )を、以下のように定義する。

　　△, △ , △ , △

  　(△を含む平面)と(△を含む平面)のなす角

  　(△を含む平面)と(△を含む平面)のなす角

  　(△を含む平面)と(△を含む平面)のなす角

  　(△を含む平面)と(△を含む平面)のなす角

  　(△を含む平面)と(△を含む平面)のなす角

  　(△を含む平面)と(△を含む平面)のなす角

 

　このとき、次の関係が成り立つ。

　　

Ａ

 

 

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｄ

 

 

 

 

　　　　　　Ｂ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｃ

[証明]

  頂点から、△に下ろした垂線の足をとする。が△の内部にあるときも、外部にあるときも、

 

　　　

 

が成り立つ。したがって、

　　　　…　　�@

となる。

　同様にして、

　　　

　　　

　　　

これらから、

　　　　　…　�A

　　　　　…　�B

　　　　　…　�C

�@の右辺に�A�B�Cを代入すると

が得られる。

 

 

系（４平方の定理）　

　四面体において、のとき、

△, △, △ , △の面積を、それぞれ、, ,,とすると、

　　　

がなりたつ。

 

最初の定理は、平面の三角形に対する余弦定理の拡張になっているが、さらに、ｎ次元への拡張が可能であり、その系としてｎ平方の定理も成り立つ。