余弦定理の拡張
定理
四面体において、4つの面の面積
, (
) と、二つの面のなす角
(
は
から2つ取る組合せ )を、以下のように定義する。
△
,
△
,
△
,
△
(△
を含む平面)と(△
を含む平面)のなす角
(△
を含む平面)と(△
を含む平面)のなす角
(△
を含む平面)と(△
を含む平面)のなす角
(△
を含む平面)と(△
を含む平面)のなす角
(△
を含む平面)と(△
を含む平面)のなす角
(△
を含む平面)と(△
を含む平面)のなす角
このとき、次の関係が成り立つ。
A
D
B
C
[証明]
頂点から、△
に下ろした垂線の足を
とする。
が△
の内部にあるときも、外部にあるときも、
が成り立つ。したがって、
… @
となる。
同様にして、
これらから、
… A
… B
… C
@の右辺にABCを代入すると
が得られる。
系(4平方の定理)
四面体において、
のとき、
△, △
, △
, △
の面積を、それぞれ、
,
,
,
とすると、
がなりたつ。
最初の定理は、平面の三角形に対する余弦定理の拡張になっているが、さらに、n次元への拡張が可能であり、その系としてn平方の定理も成り立つ。