2000年1月3日（月）
私が育った町に上の橋という橋があります。この橋から駅のほうに降りていく坂道のわきに、もうひとつ細い坂道がついています。横から見るとこの図のようになっている。（図の数値はこれから先の計算のために簡単にしてあります。）
自転車でこの坂道を下るとき、二つの坂道を下りるとき、どちらが早いか競争することがよくありました。赤い坂道の方が早いようです。
青い坂道の傾斜角をθとすると、斜面を転がる自転車に働く重力の斜面方向成分はｇsinθで、図の定数を使うと、ｇ/√５これが加速度ａになります。
したがって、
ａ＝ｇ/√５ ｖ＝ａｔ ｘ＝１/２ａｔ2
これから、斜面の下までくる時間ｔ1とその終速ｖ1は、
ｔ1＝ルート（５０／ｇ）＝約２．２６秒、ｖ1＝ルート（10ｇ）
一方赤い斜面の方は、
ます、赤の坂を下りきるまでの時間ｔ21と終速ｖ2は、
ｔ21＝ルート（２０／ｇ）、ｖ2＝ルート（10ｇ）
水平部分を進む時間ｔ22は、
ｔ22＝１／ルート（２ｇ）
したがって、赤い坂を下った場合のかかる時間ｔ2は、
ｔ2＝ｔ21＋ｔ22
＝（２ルート(10)＋１）／ルート（２ｇ）
＝約１．６５秒
となり、確かに赤い道の方が早いのです。
考えてみれば、５ｍの高さにある位置エネルギーが運動エネルギーに変わるから、高さが０ｍになったときの速度は、どのようにしても ルート（10ｇ）になる。できるだけ早くこの速さになったほうが有利です。しかしながら、そうすると全移動距離は長くなってしまい、これは不利。間にちょうどうまい道があるに違いないのです。その道はきっと最初は垂直に落ちていく道でなんでしょうね・・・。
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ある高さから最も早く下りる坂道はサイクロイドなのです。「数学で遊ぼう」展では、このサイクロイドの坂道がありました。写真で一番手前の坂道がそれです。３つの坂道があって、ボールを同時に転がすと、手前のサイクロイドの坂道を転がるボールが一番はやいことが実験できます。
しかし、サイクロイドの坂道と真中の坂道では、その違いがあまりはっきりしません。同時に落ちるように注意してやっても、その差はごくわずかでした。
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戻るサイクロイドの坂道を転がる物体の性質でおもしろいのは「等時性」でしょう。つまり、坂道のどこから転がり始めても、同じ時間下まで到達します。
写真のように、違う高さのところで同時にボールを離しても、ボールは坂の下に同時に到達します。
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