2000年1月3日(月)

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「数学と遊ぼう」に行ってきた・・・その3

サイクロイドの滑り台

二つの坂道

 私が育った町に上の橋という橋があります。この橋から駅のほうに降りていく坂道のわきに、もうひとつ細い坂道がついています。横から見るとこの図のようになっている。(図の数値はこれから先の計算のために簡単にしてあります。)

 自転車でこの坂道を下るとき、二つの坂道を下りるとき、どちらが早いか競争することがよくありました。赤い坂道の方が早いようです。

 青い坂道の傾斜角をθとすると、斜面を転がる自転車に働く重力の斜面方向成分はgsinθで、図の定数を使うと、g/√5これが加速度aになります。
 したがって、    a=g/√5  v=at  x=1/2at2
これから、斜面の下までくる時間t1とその終速v1は、
   t1=ルート(50/g)=約2.26秒、v1=ルート(10g)
 一方赤い斜面の方は、
ます、赤の坂を下りきるまでの時間t21と終速v2は、
   t21=ルート(20/g)、v2=ルート(10g)
水平部分を進む時間t22は、
   t22=1/ルート(2g)
したがって、赤い坂を下った場合のかかる時間t2は、
   t2=t21+t22
      =(2ルート(10)+1)/ルート(2g)
      =約1.65秒
となり、確かに赤い道の方が早いのです。

 考えてみれば、5mの高さにある位置エネルギーが運動エネルギーに変わるから、高さが0mになったときの速度は、どのようにしても ルート(10g)になる。できるだけ早くこの速さになったほうが有利です。しかしながら、そうすると全移動距離は長くなってしまい、これは不利。間にちょうどうまい道があるに違いないのです。その道はきっと最初は垂直に落ちていく道でなんでしょうね・・・。

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最速降下線

 ある高さから最も早く下りる坂道はサイクロイドなのです。「数学で遊ぼう」展では、このサイクロイドの坂道がありました。写真で一番手前の坂道がそれです。3つの坂道があって、ボールを同時に転がすと、手前のサイクロイドの坂道を転がるボールが一番はやいことが実験できます。

 しかし、サイクロイドの坂道と真中の坂道では、その違いがあまりはっきりしません。同時に落ちるように注意してやっても、その差はごくわずかでした。

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サイクロイド振り子の等時性

 サイクロイドの坂道を転がる物体の性質でおもしろいのは「等時性」でしょう。つまり、坂道のどこから転がり始めても、同じ時間下まで到達します。



 写真のように、違う高さのところで同時にボールを離しても、ボールは坂の下に同時に到達します。

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