2000年4月22日(土)

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分数と小数

1/7 の小数表示の不思議

 1÷7を小数で表示させるといつまでも割り切れず、0.142857142857・・・となる。これは循環小数といって、[142857]を無限に繰りかえす。

 1÷7=0.142857・・・
 2÷7=0.285714・・・
 3÷7=0.428571・・・
 4÷7=0.571428・・・
 5÷7=0.714285・・・
 6÷7=0.857142・・・

 このように、○÷7は、割り切れない限りこの[142857]のどこからか始まり、この順序で循環している。

 さらにおもしろいのは、この[142857]の並びである。半分に切って縦に並べると 142 と 857 となって、どの桁も和が9になっている。

 こういうのは、7だけのことなのだろうか? これを調べるために、いろんなnについて1÷nを計算してみた。

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小数表示循環節の長さ
20.50
30.[3]1
40.250
50.20
60.1[7]1
70.[142857]6
80.1250
90.[1]1
100.10
110.[09]2
120.08[3]1
130.[076923]6
140.0[714285]6
150.0[6]1
160.06250
170.[0588235294117647]16
180.0[5]1
190.[052631578947368421]18
200.050
210.[047619]6
220.0[45]2
230.[0434782608695652173913]22
240.041[6]1
250.040
260.0[714285]6
270.[037]3
280.03[571428]6
290.[0344827586206896551724137931]28
300.0[3]1
310.[032258064516129]15
320.031250
330.[03]6
340.0[2941176470588235]16
350.0[285714]6
360.02[7]1
370.[027]3
380.0[263157894736842105]18
390.[025641]6
400.0250
410.[02439]5
420.0[238095]6
430.[023255813953488372093]21
440.02[27]2
450.0[2]1
460.0[2173913043478260869565]21
470.[0212765957446808510638297872340425531914893617]46
480.0208[3]1
490.[020408163265306122448979591836734693877551]41
500.020
510.[0196078431372549]16
520.01[923076]6
530.[0188679245283]13
540.0[185]3
550.0[18]2
560.017[857142]6
570.[017543859649122807]18
580.0[1724137931034482758620689655]28
590.[0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661]58
600.01[6]1
610.[016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459]60
620.0[161290322580645]15
630.[015873]6
640.0156250
650.0[153846]6
660.0[15]2
670.[014925373134328358208955223880597]33
680.01[4705882352941176]6
690.[0144927536231884057971]22
700.0[142857]6
710.[01408450704225352112676056338028169]35
720.013[8]1
730.[01369863]8
740.0[135]3
750.01[3]1
760.01[315789473684210526]18
770.[012987]6
780.0[128205]6
790.[0126582278481]13
800.01250
810.[012345679]9
820.0[12195]5
830.[01204819277108433734939759036144578313253]41
840.01[190476]6
850.0[1176470588235294]6
860.0[116279069767441860465]21
870.[0114942528735632183908045977]28
880.011[36]2
890.[01123595505617977528089887640449438202247191]44
900.0[1]1
910.[010989]6
920.01[0869565217391304347826]22
930.[010752688172043]15
940.0[1063829787234042553191489361702127659574468085]46
950.0[105263157894736842]18
960.01041[6]1

 この表を見ていると、いろいろとおもしろいことがわかってくる。




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