2000年4月23日(日)

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循環節の長さ

 1÷nの小数表示を一覧表にしたものを見てみる。循環節の長さが0というのは、割り切れる場合であり、割り切れない場合には、もしも循環する場合には、循環節の長さを記入してある。

 循環節は長かったり短かったりしていて規則性などなさそうに見える。しかし、循環節が長いのは、nが素数のときのようである。nが合成数のときには、循環節はそんなに長くならない。

 授業のときには、n=23 で実際に計算させている。このぐらいになると、電卓は役に立たない。有効桁数が小さすぎるのである。8桁かせいぜい12桁だから。筆算で計算してもらいながら、次のような質問をする。
 このまま、割り切れないまま、循環もしないで永遠と計算しつづけると思う人?
そうすると、けっこう手をあげる生徒がいる。

 いくつか計算してみた後に、今度は、
  nがどんな数でも、1÷nは、割り切れるか、必ず循環するかのどちらかであると思うか?
 そうすると、かなり多くの生徒は手をあげない。「必ず」というところに引っかかるようである。

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 そこで1÷7を計算しながら、「どうして循環するのか?」と質問してみる。そうすると、多くの生徒が、「余りが1となると、そこから同じことを繰り返す。」と答える。他の場合についても、それを確かめた後、「循環しない」ということはどういうことか考えてもらう。

 そういうやりとりを繰り返しているうちに、循環しないで割り切れないまま無限に続くということは、異なる余りが出つづけるということになり、そんな事はありえないのだということに気がつく。そして、循環するときでも、循環節の長さは最大 n−1 にしかならないことに気がつく。そして、そのことは、1÷nの表を見ても確かめられるのである。

 生徒一人にふたつのnの計算を割り当てて、この表を完成するだけで、まる1時間かかる。しかも、正確に計算しているとは限らない。そこで、あらかじめ、計算しておく必要があるのだが、これがなかなか大変である。BASICで簡単な割り算プログラムを作って計算している。最近「有理香」という分数計算電卓フリーソフトを見つけた。分数のまま計算するのが、その機能なのであるが、「少数化」というボタンがあり、それを押すと、何桁でも表示してくれる。便利である。

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