2000年4月30日（日）
１÷７は、０．１４２８５７・・・となり、循環節は１４２８５７である。１÷ｎを小数表示したときに、同じ循環節になるものを集めてみると
ｎ＝７ 1/ 7 0.[142857]
ｎ＝７×２ 1/14 0.0[714285]
ｎ＝７×４ 1/28 0.03[571428]
ｎ＝７×５ 1/35 0.0[285714]
ｎ＝７×８ 1/56 0.017[857142]
ｎ＝７×１０ 1/70 0.0[142857]
ｎ＝７×１６ 1/112 0.0089[285714]
ｎ＝７×２０ 1/140 0.00[714285]
ｎ＝７×２５ 1/175 0.00[571428]
ｎ＝７×３２ 1/224 0.00446[428571]
・・・
となる。７に２のべき乗をかけたとき、５のべき乗をかけたときになりそうである。この２とか５というのは、１０の約数なのだろうか、いずれにしろ、２とか５自身は１÷ｎとしたときに割り切れてしまうような数である。こういうものがかかっても、循環節に変化がないというのも、何となく当たり前のような気がしてくる。
循環節が長くなるときを調べると・・・
ｎ＝７×７ 1/49 0.[020408163265306122448979591836734693877551]
ｎ＝７×１４ 1/98 0.0[102040816326530612244897959183673469387755]
ｎ＝７×１７ 1/119 0.[008403361344537815126050420168067226890756302521]
ｎ＝７×１９ 1/133 0.[007518796992481203]
ｎ＝７×２１ 1/147 0.[006802721088435374149659863945578231292517]
ｎ＝７×２３ 1/161 0.[006211180124223602484472049689440
993788819875776397515527950310559]
ｎ＝７×２８ 1/196 0.00[510204081632653061224489795918367346938775]
ｎ＝７×２９ 1/203 0.[004926108374384236453201970443349753694581
280788177339901477832512315270935960591133]
ｎ＝７×３１ 1/217 0.[004608294930875576036866359447]
というようになる。
ｎの因数にある素数がどうやら問題になるようである。そういえば、ｎが素数そのもののときには、循環節が長くなる。というか、１÷ｎの循環節の長さがｎ−１になるのは、ｎが素数の時だけである。
それから、今調べた例のなかで、
ｎ＝７×７＝４９ のとき、循環節の長さは４２で、
0.020408163265306122448
979591836734693877551
ｎ＝７×１４＝９８ のとき、循環節の長さは４２で
0.0[102040816326530612244
897959183673469387755]
ｎ＝７×１９＝１３３ のとき、循環節の長さは１８で
0.007518796
992481203
ｎ＝７×２３＝１６１ のとき、循環節の長さは６６で
0.006211180124223602484472049689440
993788819875776397515527950310559
ｎ＝７×２８＝１９６ のとき、循環節の長さは４２で
0.00510204081632653061224
489795918367346938775
のように、循環節を半分にしたとき、前半部分と後半部分の各数がお互いに補数関係になっているものがある。
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