2000年4月30日(日)

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循環の仕方

 1÷7は、0.142857・・・となり、循環節は142857である。1÷nを小数表示したときに、同じ循環節になるものを集めてみると
n=7    1/ 7 0.[142857]
n=7×2  1/14 0.0[714285]
n=7×4  1/28 0.03[571428]
n=7×5  1/35 0.0[285714]
n=7×8  1/56 0.017[857142]
n=7×10 1/70 0.0[142857]
n=7×16 1/112 0.0089[285714]
n=7×20 1/140 0.00[714285]
n=7×25 1/175 0.00[571428]
n=7×32 1/224 0.00446[428571]
・・・
となる。7に2のべき乗をかけたとき、5のべき乗をかけたときになりそうである。この2とか5というのは、10の約数なのだろうか、いずれにしろ、2とか5自身は1÷nとしたときに割り切れてしまうような数である。こういうものがかかっても、循環節に変化がないというのも、何となく当たり前のような気がしてくる。

 循環節が長くなるときを調べると・・・
n=7×7  1/49 0.[020408163265306122448979591836734693877551]
n=7×14 1/98 0.0[102040816326530612244897959183673469387755]
n=7×17 1/119 0.[008403361344537815126050420168067226890756302521]
n=7×19 1/133 0.[007518796992481203]
n=7×21 1/147 0.[006802721088435374149659863945578231292517]
n=7×23 1/161 0.[006211180124223602484472049689440
           993788819875776397515527950310559]
n=7×28 1/196 0.00[510204081632653061224489795918367346938775]
n=7×29 1/203 0.[004926108374384236453201970443349753694581
           280788177339901477832512315270935960591133]
n=7×31 1/217 0.[004608294930875576036866359447]
というようになる。

 nの因数にある素数がどうやら問題になるようである。そういえば、nが素数そのもののときには、循環節が長くなる。というか、1÷nの循環節の長さがn−1になるのは、nが素数の時だけである。

 それから、今調べた例のなかで、 n=7×7=49 のとき、循環節の長さは42で、
    0.020408163265306122448
     979591836734693877551
n=7×14=98 のとき、循環節の長さは42で
    0.0[102040816326530612244
      897959183673469387755]
n=7×19=133 のとき、循環節の長さは18で
    0.007518796
     992481203
n=7×23=161 のとき、循環節の長さは66で
    0.006211180124223602484472049689440
     993788819875776397515527950310559
n=7×28=196 のとき、循環節の長さは42で
    0.00510204081632653061224
      489795918367346938775
のように、循環節を半分にしたとき、前半部分と後半部分の各数がお互いに補数関係になっているものがある。

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