2000年6月10日（土）
部屋の整理をしていたら、昔の生徒のレポートが出てきた。なんと、最近この「取れたて通信」の掲示板に書き込んでくれている Ryo さんのものであった。私の転勤があったりして、「取れたての定理です」に収録されないままになっていた。面白い内容なので紹介しよう。
たとえば、６０と１１２の最大公約数を求める方法として、
１１２ を ６０ で割って 商が １ 余りが ５２ になります。
１１２ ＝ ６０ × １ ＋ ５２
次に、今度は割る数６０を余りの５２で割って、
６０ ＝ ５２ × １ ＋ ８
また、同じように、割る数５２を余りの８で割って
５２ ＝ ８ × ６ ＋ ４
これを繰り返して
８ ＝ ４ × ２ ＋ ０
となる。このように余りが０となったときの割る数４が、最初の６０と１１２の約数になるというものです。
上の計算結果は、次のように変形できる。
１１２ ５２
−−− ＝ １ ＋ −−−
６０ ６０
６０ ８
−−− ＝ １ ＋ −−−
５２ ５２
５２ ４
−−− ＝ ６ ＋ −−−
８ ８
８ ０
−−− ＝ ２ ＋ −−−
４ ４
上の計算の結果を次のような分数の形で表すことができる。
１１２ １
−−− ＝ １ ＋ ――――――――――――
６０ １
１ ＋ ――――――――
１
６ ＋ ―――
２
このような分数を、より簡単に、
１１２
――― ＝ [１,１,６,２]
６０
と表すことにしよう。すべての分数は、このような連分数展開が可能であり、有限の長さで終了する。
この分数の連分数展開は、例えば「EXCEL」のような表計算ソフトで、簡単に得ることができる。
Ａ ＝ Ｂ × Ｑ ＋ Ｒ
という式の各要素Ａ,Ｂ,Ｑ,Ｒ用にセルを用意して、所定の結果が出るように式を入れて、それを下にずらっとコピーすれば出来上がりである。Ｑのセルを順に上から見ていけばこの展開が得られる。
この分数の連分数展開のワークシートができたら、分子に無理数を、分母に１を入れてみると面白いことがわかる。
例えば、
ＳＱＲＴ(２) ＝ [１,２,２,２,２,２,２,２,・・・]
ＳＱＲＴ(３) ＝ [１,１,２,１,２,１,２,１,２,１,２・・・]
ＳＱＲＴ(５) ＝ [２,４,４,４,４,４,４,４,・・・]
ＳＱＲＴ(６) ＝ [２,２,４,２,４,２,４,２,４,２,４・・・]
ＳＱＲＴ(７) ＝ [２,１,１,１,４,１,１,１,４,１,１,１,４,・・・]
ＳＱＲＴ(８) ＝ [２,１,４,１,４,１,４,１,４,１,４・・・]
ＳＱＲＴ(１０) ＝ [３,６,６,６,６,６,６,６,・・・]
ＳＱＲＴ(１２) ＝ [３,２,６,２,６,２,６,２,６,２,６・・・]
ＳＱＲＴ(１３) ＝ [３,１,１,１,１,６,１,１,１,１,６・・・]
ＳＱＲＴ(１４) ＝ [３,１,２,１,６,１,２,１,６,１,２・・・]
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