2000年6月10日(土)

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連分数展開による無理数の近似

 部屋の整理をしていたら、昔の生徒のレポートが出てきた。なんと、最近この「取れたて通信」の掲示板に書き込んでくれている Ryo さんのものであった。私の転勤があったりして、「取れたての定理です」に収録されないままになっていた。面白い内容なので紹介しよう。





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ユークリッドの互除法

 たとえば、60と112の最大公約数を求める方法として、
112 を 60 で割って 商が 1 余りが 52 になります。
   112 = 60 × 1 + 52
 次に、今度は割る数60を余りの52で割って、
    60 = 52 × 1 +  8
 また、同じように、割る数52を余りの8で割って
    52 =  8 × 6 +  4
 これを繰り返して
     8 =  4 × 2 +  0
 となる。このように余りが0となったときの割る数4が、最初の60と112の約数になるというものです。

 上の計算結果は、次のように変形できる。
 112           52
 −−− = 1 + −−−
  60           60

  60            8
 −−− = 1 + −−−
  52           52

  52           4
 −−− = 6 + −−−
   8           8

  8            0
 −−− = 2 + −−−
  4            4


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有理数の連分数展開

 上の計算の結果を次のような分数の形で表すことができる。

 112              1
 −−− = 1 + ――――――――――――
  60                  1
              1 + ――――――――
                          1
                    6 + ―――
                          2

このような分数を、より簡単に、

 112
 ――― = [1,1,6,2]
  60

と表すことにしよう。すべての分数は、このような連分数展開が可能であり、有限の長さで終了する。

 この分数の連分数展開は、例えば「EXCEL」のような表計算ソフトで、簡単に得ることができる。
 A = B × Q + R
という式の各要素A,B,Q,R用にセルを用意して、所定の結果が出るように式を入れて、それを下にずらっとコピーすれば出来上がりである。Qのセルを順に上から見ていけばこの展開が得られる。


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無理数の連分数展開

 この分数の連分数展開のワークシートができたら、分子に無理数を、分母に1を入れてみると面白いことがわかる。

 例えば、
  SQRT(2) = [1,2,2,2,2,2,2,2,・・・]
  SQRT(3) = [1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2・・・]
  SQRT(5) = [2,4,4,4,4,4,4,4,・・・]
  SQRT(6) = [2,2,4,2,4,2,4,2,4,2,4・・・]
  SQRT(7) = [2,1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,・・・]
  SQRT(8) = [2,1,4,1,4,1,4,1,4,1,4・・・]
  SQRT(10) = [3,6,6,6,6,6,6,6,・・・]
  SQRT(12) = [3,2,6,2,6,2,6,2,6,2,6・・・]
  SQRT(13) = [3,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6・・・]
  SQRT(14) = [3,1,2,1,6,1,2,1,6,1,2・・・]

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