2000年6月11日（日）

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連分数展開

無理数の連分数展開

　ユークリッドの互除法を使って最大公約数を求めるＥｘｃｅｌのシートを作った。

				Ａ1	＝	Ｂ1	×	Ｑ1	＋	Ｒ1
Ａ2＝Ｂ1,	Ｂ2＝Ｒ1	として		Ａ2	＝	Ｂ2	×	Ｑ2	＋	Ｒ2
Ａ3＝Ｂ2,	Ｂ3＝Ｒ2	として		Ａ3	＝	Ｂ3	×	Ｑ3	＋	Ｒ3
Ａ4＝Ｂ3,	Ｂ4＝Ｒ3	として		Ａ4	＝	Ｂ4	×	Ｑ4	＋	Ｒ4

　このシートによって、Ａ₁／Ｂ₁＝[Ｑ₁,Ｑ₂,Ｑ₃,Ｑ₄,Ｑ₄,・・・]　という連分数展開が得られる。このＡ₁にＳＱＲＴ(ｍ)、Ｂ₁には１を入れると、

Ａ1＝ＳＱＲＴ(ｍ)，	Ｂ1＝１	として		Ａ1	＝	Ｂ1	×	Ｑ1	＋	Ｒ1
Ａ2＝Ｂ1,	Ｂ2＝Ｒ1	として		Ａ2	＝	Ｂ2	×	Ｑ2	＋	Ｒ2
Ａ3＝Ｂ2,	Ｂ3＝Ｒ2	として		Ａ3	＝	Ｂ3	×	Ｑ3	＋	Ｒ3
Ａ4＝Ｂ3,	Ｂ4＝Ｒ3	として		Ａ4	＝	Ｂ4	×	Ｑ4	＋	Ｒ4

となって、ＳＱＲＴ(ｍ)＝[Ｑ₁,Ｑ₂,Ｑ₃,Ｑ₄,Ｑ₄,・・・]　という連分数展開が得られる。連分数展開が有限の長さで終了するとそれは有理数になる。無理数については連分数展開は無限に続く。

　ｍとして、２から順に入れてみると、次のようになる。
　　ＳＱＲＴ(２)　＝　[１,２,２,２,２,２,２,２,・・・]
　　ＳＱＲＴ(３)　＝　[１,１,２,１,２,１,２,１,２,１,２・・・]

　　ＳＱＲＴ(５)　＝　[２,４,４,４,４,４,４,４,・・・]
　　ＳＱＲＴ(６)　＝　[２,２,４,２,４,２,４,２,４,２,４・・・]
　　ＳＱＲＴ(７)　＝　[２,１,１,１,４,１,１,１,４,１,１,１,４,・・・]
　　ＳＱＲＴ(８)　＝　[２,１,４,１,４,１,４,１,４,１,４・・・]

　　ＳＱＲＴ(１０)　＝　[３,６,６,６,６,６,６,６,・・・]
　　ＳＱＲＴ(１１)　＝　[３,３,６,３,６,３,６,３,６,３,６・・・]
　　ＳＱＲＴ(１２)　＝　[３,２,６,２,６,２,６,２,６,２,６・・・]
　　ＳＱＲＴ(１３)　＝　[３,１,１,１,１,６,１,１,１,１,６・・・]
　　ＳＱＲＴ(１４)　＝　[３,１,２,１,６,１,２,１,６,１,２・・・]
　　ＳＱＲＴ(１５)　＝　[３,１,６,１,６,１,６,１,６,１,６・・・]

　　ＳＱＲＴ(１７)　＝　[４,８,８,８,８,８,８,８,８,８,８・・・]
　　ＳＱＲＴ(１８)　＝　[４,４,８,４,８,４,８,４,８,４,８・・・]
　　ＳＱＲＴ(１９)　＝　[４,２,１,３,１,２,８,２,１,３,１,２,８・・・]
　　ＳＱＲＴ(２０)　＝　[４,２,８,２,８,２,８,２,８,２,８・・・]
　　ＳＱＲＴ(２１)　＝　[４,１,１,２,１,１,８,１,１,２,１,１,８・・・]
　　ＳＱＲＴ(２２)　＝　[４,１,２,４,２,１,８,１,２,４,２,１,８・・・]
　　ＳＱＲＴ(２３)　＝　[４,１,３,１,８,１,３,１,８,１,３,１,８・・・]
　　ＳＱＲＴ(２４)　＝　[４,１,８,１,８,１,８,１,８,１,８,１,８・・・]

　　ＳＱＲＴ(２６)　＝　[５,１０,１０,１０,１０,１０,１０,・・・]
　　ＳＱＲＴ(２７)　＝　[５,５,１０,５,１０,５,１０,５,１０・・・]
　　ＳＱＲＴ(２８)　＝　[５,３,２,３,１０,３,２,３,１０・・・]
　　ＳＱＲＴ(２９)　＝　[５,２,１,１,２,１０,２,１,１,２,１０・・・]
　　ＳＱＲＴ(３０)　＝　[５,２,１０,２,１０,２,１０,２,１０・・・]

無理数の連分数展開に見られる法則

定理１

　ＳＱＲＴ(Ｋ²＋１)＝[Ｋ,２Ｋ,２Ｋ,２Ｋ,・・・]

定理２

　ＳＱＲＴ(Ｋ²＋２)＝[Ｋ,Ｋ,２Ｋ,Ｋ,２Ｋ,Ｋ,２Ｋ・・・]

定理３

　Ｋ＝３Ｌのとき、
　ＳＱＲＴ(Ｋ²＋３)＝[Ｋ,２Ｋ／３,２Ｋ,２Ｋ／３,２Ｋ,２Ｋ／３,２Ｋ・・・]

定理４

　Ｋ＝２Ｌのとき、
　ＳＱＲＴ(Ｋ²＋４)＝[Ｋ,Ｋ／２,２Ｋ,Ｋ／２,２Ｋ,Ｋ／２,２Ｋ・・・]

証明

　もちろん、これらの定理は証明できる。証明はやさしいので、みなさんやってみてください。

円周率　π　の連分数展開

　π　＝　[　３,７,１５,１,２９２,１,１,１,２,１,３,１,１４,２,１,１,２,２,２,２,１,８９,２,１,１,１５,３,１３,１,４,２,６,６,１,・・・　]

　そういえば、[ ３,７ ] ＝２２／７　だから、πの近似値として、２２／７を使われてきたのも、なるほどとうなずける。

自然対数の底　ｅ　の連分数展開

ｅ　＝　[　２,１,２,１,１,４,１,１,６,１,１,８,１,１,１０,１,１,１２,・・・　]

　ｅの連分数展開には規則性があるのが面白い。

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