2002年01月03日(木)

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ルーローの三角形を調べよう

 ルーローの四面体は、ルーローの三角形からの自然なアナロジーとして考えたものだった。ルーローの三角形の場合には、正三角形の一辺の長さを間隔とする2本の平行線の間で、どのように置いても、2本の平行線の間にぴったりとはまることは証明できる。

 では、このルーローの四面体の場合はどうであろうか? 一つの頂点と対する球面の上のどの点との距離も、常に一定であることは確かである。しかし、空間と平面は違う。2つの平行な平面の間で、接する点が頂点からはずれる場合がでてくる。たとえば、球面と球面のぶつかってできる稜線上の点とその反対の点との間の距離は、はたして、正四面体の一辺と等しくなるのか? 等しくなることを証明しようと思ったがどうもうまくいかない。ひょっとして違うかもしれない・・・そう思っていた。


 実物を見て、その辺がどうなっているのか、転がしながら目を凝らしてみてみる。小沢健一先生や野町先生は、この実物を見て等幅ではないと言った。私には違うようには見えない。

 そこで、特別な場所として、球面と球面がぶつかってできる稜線の中点と反対側の稜線の中点との距離を計算してみた。最初は手っ取り早く、座標をおいて計算してみた。計算結果は・・・正四面体の一辺の長さとは異なっているのだ。ルーローの四面体は等幅ではない。


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計算してみよう!


 実際にルーローの四面体を作るために、いろいろと切る角度がどうなるのか、あるいは、正確にその角度で切るために「定規」を作ったりしているうちに、座標を使わなくても簡単に計算できることがわかってきた。

 以下、簡単のために、正四面体の一辺の長さを2として計算していく。

 まず、正四面体の一辺の中点と、その辺の大変の中点を結ぶ距離を計算してみよう。求める長さは、斜辺=ルート3、直角をはさむ一辺=1 の直角三角形の残る一辺になるから、三平方の定理から、それは、ルート2 となる。

 次に、二つの面に張り付けた二つの球面のぶつかる稜線を考えよう。二つの頂点を中心として半径が2の球面の交わる点である。二つの球面の交線を通る平面と球面の交線の円弧が稜線となる。

 その平面と球の中心の距離は1であるから、中心から稜線の中点までの距離は2。したがって、稜線の中点と、その対辺の中点との距離は ルート3 になる。

 したがって、求める、稜線の中点と対する稜線の中点との距離は、
   ルート3 + ( ルート3 − ルート2 )= 2 ルート3 − ルート2
となる。


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そう思って実物を見てみよう


 なるほどそうだな・・・と、思う。

 頂点と対面のどこかとの距離は2であるときに、稜線の中点と対する稜線の中点との距離は、2×ルート3−ルート2=2×1.7320508−1.41421356 = 2.049880527・・・となる。

 2に対して2.05と、わずかわずか2.5%の違いである。じっと目を凝らして違うといった小沢健一先生や野町先生はわずかに小さいといったが、実際には、わずかに大きいというのが趣深い。


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