1999年 8月31日(火)

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証明のない証明(1)

自然数の和

 大数学者ガウスの子供のころの逸話で、
  1+2+・・・+100
を計算するように指示された少年ガウスが
    1+ 2+・・・+100
  100+99+・・・+  1
の2つを加えて、(101+101+・・・+101)÷2  として求めたいうのは有名である。

 同じことでも、
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という図を見たほうが n×(n+1)÷2 という意味が見えてくる。

自然数の平方の和

 自然数の平方の和  12+22+32+・・・+n2  を求めるときはどうだろうか。


1段目は 1×1=12
2段目は 2×2=22
3段目は 3×3=32
4段目は 4×4=42

となるように立方体を積んでいく。





同じような立体を、6個用意して、
これをうまく組み合わせると


右の写真のように直方体になる。この直方体を見れば

 12+22+32+・・・+n2
=1/6×n(n+1)(2n+1)

となることがわかる。

 これを見ていると、証明はなくてもいいかなと思う。

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