1999年 9月 8日(水)

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白川の定理その後

白川の定理の拡張 取れたての定理!


 白川の定理は、有名な三平方の定理の図を見ていて気が付いた 定理であった。直角三角形の各辺に正方形を作り、隣同士の正方形で できる三角形の面積がすべてもとの直角三角形の面積と等しいという ものである。



 しかし、その証明を見ていると、直角三角形である必要はない ことに気が付いた。実際に、Cabriで一般の三角形を描いて問題の 三角形の面積を測ってみる。ちゃんと等しくなっている。



正三角形を 取れたての定理!

 三角形の各辺の上に正方形を描く代わりに正三角形を描いてみた。


 三角形の辺の上にたった正三角形の頂点と、辺に対する三角形の頂点を 結んだ3本の直線が一点で交わっていることに気が付く。

 この3本の長さがみんな同じ長さであることに気が付く。



湯沢の定理

 「取れたての定理です」第1巻の湯沢の定理は、これよりもう少し 条件がゆるい。

 三角形の各辺の上に、相似な二等辺三角形をたてる。二等辺三角形の 頂点と、二等辺三角形の底辺に対するもとの三角形の頂点を結ぶ3本の直線 は1点で交わる。

 湯沢君は、この事実を、座標を使って計算して示している。 二等辺三角形を、もとの三角形の内部の方向に立てても成り立つことまで 証明している。



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