1999年 9月 9日（木）
「取れたての定理です」第１巻で、湯沢の定理は解析幾何的に 証明されている。今日は、それを初等幾何的に証明できないか考えて いた。
１点で交わることの証明には、メネラウスの定理かチェバの定理 を使えないかと考えながら、図を描いて見ていた。チェバの定理の逆 が言えるような条件というのはどういうのがあるだろうかと考えていた。 湯沢の定理の証明はさておき、チェバの定理の条件が簡単に 示せる場合として、次のような新しい定理が見つかった。
三角形の内接円と各辺との接点を考える。各接点と、その接点が のっている辺に対する頂点を結ぶ３本の直線は１点で交わる。
内接円と辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢとの接点を、それぞれ、Ｐ、Ｑ、Ｒ とする。
円外の１点から引いた接線の長さは等しいから
ＡＱ＝ＡＲ、ＢＲ＝ＢＰ、ＣＰ＝ＣＱ
が成り立つ。
したがって、
ＡＲ ＢＰ ＣＱ
---- ＝ ---- ＝ ----
ＲＢ ＰＣ ＱＡ
ＡＲ ＢＰ ＣＱ
＝---- ＝ ---- ＝ ---- ＝ １
ＢＰ ＣＱ ＡＲ
が成り立つ。したがって、Ｃｅｖａの定理（の逆）により、
３直線は１点で交わる。
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