1999年 9月 9日(木)

取れたて日記  ホームへ

湯沢の定理その後

湯沢の定理の初等幾何による証明

 「取れたての定理です」第1巻で、湯沢の定理は解析幾何的に 証明されている。今日は、それを初等幾何的に証明できないか考えて いた。

 1点で交わることの証明には、メネラウスの定理かチェバの定理 を使えないかと考えながら、図を描いて見ていた。チェバの定理の逆 が言えるような条件というのはどういうのがあるだろうかと考えていた。 湯沢の定理の証明はさておき、チェバの定理の条件が簡単に 示せる場合として、次のような新しい定理が見つかった。

1点で交わる3本の直線 取れたての定理!


 三角形の内接円と各辺との接点を考える。各接点と、その接点が のっている辺に対する頂点を結ぶ3本の直線は1点で交わる。



定理の証明

 内接円と辺BC、CA、ABとの接点を、それぞれ、P、Q、R とする。 円外の1点から引いた接線の長さは等しいから
  AQ=AR、BR=BP、CP=CQ
が成り立つ。

 したがって、
  AR     BP   CQ
  ---- = ---- = ----
  RB     PC   QA

  AR    BP    CQ
 =---- = ---- = ---- = 1
  BP    CQ    AR
が成り立つ。したがって、Cevaの定理(の逆)により、 3直線は1点で交わる。

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