1999年 9月11日(土)

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湯沢の定理の証明(1)

湯沢の定理


 凾`BCの各辺の上に相似な二等辺三角形をつくる。 すなわち、三角形の外側に3点D、E、Fを取って、
  凾cBCは DB=DC の二等辺三角形
  凾dCAは EC=EA の二等辺三角形
  凾eABは FA=FB の二等辺三角形
とし、この3つの三角形は相似であるとする。

 このとき、3つの直線AD、BE、CFは1点で交わる。


証明を考える

 3本の直線が1点で交わることを証明するには どうしたらよいのだろうか? とりあえず、Cevaの定理が 使えないかと考えた。

Cevaの定理(の逆)
 三角形ABCの辺BC上に点P、辺CA上に点Q、辺AB上に点Rがある。 このとき、
  AR    BP   CQ
  ---- = ---- = ---- = 1
  RB    PC   QA
が成り立つならば、3直線AP,BQ,CRは1点で交わる。

 使える条件は「二等辺三角形」だけだから、二等辺三角形の 等しい辺の長さと角度を使って、Cevaのあの比を計算しなければ ならないだろう・・・。二等辺三角形の等辺を使うような三角形の面積比として 計算できないだろうか・・・?

 そのように考えて、次のような証明ができた。

湯沢の定理の初等幾何による証明

 三角形AFCと三角形BFCの面積比を考えると
  凾`FC:凾aFC=AR:RB
となっている。
 二等辺三角形の底角をθとすると、
 凾`FC=FA×AC×sin(A+θ)÷2
 凾aFC=FB×BC×sin(B+θ)÷2
であるから、
 AR:RB=ACsin(A+θ):BCsin(B+θ)
となっている。
 同様にして、
 BP:PB=ABsin(B+θ):ACsin(C+θ)
 CQ:QA=BCsin(C+θ):ABsin(A+θ)
これから、
  AR    BP   CQ
  ---- = ---- = ---- = 1
  RB    PC   QA
が成り立つ。

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