1999年 9月11日（土）

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湯沢の定理の証明(1)

湯沢の定理

　�凾`ＢＣの各辺の上に相似な二等辺三角形をつくる。 すなわち、三角形の外側に３点Ｄ、Ｅ、Ｆを取って、
　　�凾cＢＣは ＤＢ＝ＤＣ の二等辺三角形
　　�凾dＣＡは ＥＣ＝ＥＡ の二等辺三角形
　　�凾eＡＢは ＦＡ＝ＦＢ の二等辺三角形
とし、この３つの三角形は相似であるとする。

　このとき、３つの直線ＡＤ、ＢＥ、ＣＦは１点で交わる。

証明を考える

　３本の直線が１点で交わることを証明するには どうしたらよいのだろうか？　とりあえず、Ｃｅｖａの定理が 使えないかと考えた。

　使える条件は「二等辺三角形」だけだから、二等辺三角形の 等しい辺の長さと角度を使って、Ｃｅｖａのあの比を計算しなければ ならないだろう・・・。二等辺三角形の等辺を使うような三角形の面積比として 計算できないだろうか・・・？

　そのように考えて、次のような証明ができた。

湯沢の定理の初等幾何による証明

　三角形ＡＦＣと三角形ＢＦＣの面積比を考えると
　　�凾`ＦＣ：�凾aＦＣ＝ＡＲ：ＲＢ
となっている。
　二等辺三角形の底角をθとすると、
　�凾`ＦＣ＝ＦＡ×ＡＣ×sin(Ａ＋θ)÷２
　�凾aＦＣ＝ＦＢ×ＢＣ×sin(Ｂ＋θ)÷２
であるから、
　ＡＲ：ＲＢ＝ＡＣsin(Ａ＋θ)：ＢＣsin(Ｂ＋θ)
となっている。
　同様にして、
　ＢＰ：ＰＢ＝ＡＢsin(Ｂ＋θ)：ＡＣsin(Ｃ＋θ)
　ＣＱ：ＱＡ＝ＢＣsin(Ｃ＋θ)：ＡＢsin(Ａ＋θ)
これから、
　　ＡＲ　　　　ＢＰ　　　ＣＱ
　　---- ＝ ---- ＝ ---- ＝ １
　　ＲＢ　　　　ＰＣ　　　ＱＡ
が成り立つ。

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