1999年 9月12日(日)

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湯沢の定理の証明(2)

湯沢の定理(2)


 凾`BCの各辺の上に相似な二等辺三角形をつくる。 すなわち、三角形の 内側に3点D、E、Fを取って、
  凾cBCは DB=DC の二等辺三角形
  凾dCAは EC=EA の二等辺三角形
  凾eABは FA=FB の二等辺三角形
とし、この3つの三角形は相似であるとする。

 このとき、3つの直線AD、BE、CFは1点で交わる。


証明

 直線ADと辺BCの交点をD'、直線BEと辺ACの交点をE'、 直線CFと辺ABとの交点をF'とする。

 三角形AFCと三角形BFCの面積比を考えると
  凾`FC:凾aFC=AF':F'B
となっている。
 二等辺三角形の底角をθとすると、
 凾`FC=FA×AC×sin(A−θ)÷2
 凾aFC=FB×BC×sin(B−θ)÷2
であるから、
 AF':F'B=ACsin(A−θ):BCsin(B−θ)
となっている。
 同様にして、
 BD':D'B=ABsin(B−θ):ACsin(C−θ)
 CE':E'A=BCsin(C−θ):ABsin(A−θ)
これから、
  AF'   BD'   CE'
  ---- = ---- = ---- = 1
  F'B   D'C   QE'
が成り立つ。

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