1999年 9月12日（日）

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湯沢の定理の証明(2)

湯沢の定理(2)

　�凾`ＢＣの各辺の上に相似な二等辺三角形をつくる。 すなわち、三角形の 内側に３点Ｄ、Ｅ、Ｆを取って、
　　�凾cＢＣは ＤＢ＝ＤＣ の二等辺三角形
　　�凾dＣＡは ＥＣ＝ＥＡ の二等辺三角形
　　�凾eＡＢは ＦＡ＝ＦＢ の二等辺三角形
とし、この３つの三角形は相似であるとする。

　このとき、３つの直線ＡＤ、ＢＥ、ＣＦは１点で交わる。

証明

　直線ＡＤと辺ＢＣの交点をＤ'、直線ＢＥと辺ＡＣの交点をＥ'、 直線ＣＦと辺ＡＢとの交点をＦ'とする。

　三角形ＡＦＣと三角形ＢＦＣの面積比を考えると
　　�凾`ＦＣ：�凾aＦＣ＝ＡＦ'：Ｆ'Ｂ
となっている。
　二等辺三角形の底角をθとすると、
　�凾`ＦＣ＝ＦＡ×ＡＣ×sin(Ａ−θ)÷２
　�凾aＦＣ＝ＦＢ×ＢＣ×sin(Ｂ−θ)÷２
であるから、
　ＡＦ'：Ｆ'Ｂ＝ＡＣsin(Ａ−θ)：ＢＣsin(Ｂ−θ)
となっている。
　同様にして、
　ＢＤ'：Ｄ'Ｂ＝ＡＢsin(Ｂ−θ)：ＡＣsin(Ｃ−θ)
　ＣＥ'：Ｅ'Ａ＝ＢＣsin(Ｃ−θ)：ＡＢsin(Ａ−θ)
これから、
　　ＡＦ'　　　ＢＤ'　　　ＣＥ'
　　---- ＝ ---- ＝ ---- ＝ １
　　Ｆ'Ｂ　　　Ｄ'Ｃ　　　ＱＥ'
が成り立つ。

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