1999年 9月14日（火）

中線定理の拡張

　「中線定理」は「パップスの定理」とも呼ばれていて、ちょっと昔には大学入試の幾何の問題のなかに、この定理を使う問題がいくつかあった。最近はまったく出題されていないのではないだろうか。この定理を使う問題を見つけるのに一苦労する。

　現在の高校の教科書の中では、「数学Ⅱ」の「図形と方程式」の中の例題となって出てくる。座標を利用して幾何の性質を証明する問題としてでてくる。

　三角形ＡＢＣの辺ＢＣの中点をＭとすると、
　　ＡＢ²＋ＡＣ² ＝２(ＡＭ²＋ＢＭ²)
が成り立つ。

　「中線」定理というからには、「中線」という条件を変えれば成り立たないのだろう。しかし、点Ｍをいろいろ動かしてみることはできるであろう。このとき、どのような関係式が成り立つだろうか。

　教科書でこの中線定理を扱うときには「線分ＢＣをｐ：ｑに内分する点をＤとして、どのような関係式が成り立つか考えてみよう。」という課題を出すことにしている。これに対して、次のような結果を出してくれる。

　三角形ＡＢＣにおいて、辺ＢＣをｐ：ｑに内分する点をＤとすると
　　ｑＡＢ²＋ｐＡＣ² ＝ｑＢＤ²＋ｐＣＤ²＋(ｐ＋ｑ)ＡＤ²
が成り立つ。

　θ＝∠ＡＤＢ　とする。三角形ＡＢＤに余弦定理を適用して、
　　ＡＢ² ＝ＡＤ²＋ＢＤ²－２ＡＤ・ＢＤcosθ
　　ＡＣ² ＝ＡＤ²＋ＣＤ²－２ＡＤ・ＣＤcos(１８０°－θ)
＝ＡＤ²＋ＣＤ²＋２ＡＤ・ＣＤcosθ
が成り立つ。

　ここで、ＢＤ：ＣＤ＝ｐ：ｑ　より、ｑＢＤ＝ｐＣＤが成り立つから、上の２式に、それぞれ、ｐ、ｑをかけて加えれば、
　ｑＡＢ²＋ｐＡＣ² ＝ｑＢＤ²＋ｐＣＤ²＋(ｐ＋ｑ)ＡＤ²
が得られる。

　ｐ＝ｑ＝１　とすれば、中線定理となることに注意！