1999年 9月14日(火)

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中線定理の拡張

中線定理

 「中線定理」は「パップスの定理」とも呼ばれていて、ちょっと昔には 大学入試の幾何の問題のなかに、この定理を使う問題がいくつかあった。 最近はまったく出題されていないのではないだろうか。この定理を使う問題 を見つけるのに一苦労する。

 現在の高校の教科書の中では、「数学U」の「図形と方程式」の中の 例題となって出てくる。座標を利用して幾何の性質を証明する問題として でてくる。

 三角形ABCの辺BCの中点をMとすると、
  AB2+AC2 =2(AM2+BM2)
が成り立つ。

中線定理の拡張

 「中線」定理というからには、「中線」という条件を変えれば 成り立たないのだろう。しかし、点Mをいろいろ動かしてみることは できるであろう。このとき、どのような関係式が成り立つだろうか。

 教科書でこの中線定理を扱うときには 「線分BCをp:qに内分する点をDとして、どのような関係式が 成り立つか考えてみよう。」 という課題を出すことにしている。これに対して、次のような結果を 出してくれる。

 三角形ABCにおいて、辺BCをp:qに内分する点をDとすると
  qAB2+pAC2 =qBD2+pCD2+(p+q)AD2
が成り立つ。

証明

 θ=∠ADB とする。 三角形ABDに余弦定理を適用して、
  AB2 =AD2+BD2−2AD・BDcosθ
  AC2 =AD2+CD2−2AD・CDcos(180°−θ)
=AD2+CD2+2AD・CDcosθ
が成り立つ。

 ここで、BD:CD=p:q より、qBD=pCDが成り立つから、 上の2式に、それぞれ、p、qをかけて加えれば、
 qAB2+pAC2 =qBD2+pCD2+(p+q)AD2
が得られる。

注意

 p=q=1 とすれば、中線定理となることに注意!

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