1999年 9月15日（水）

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中線定理拡張(2)

中線定理の空間への拡張　　取れたての定理！

　「取れたての定理です」第１巻では、「中線定理」を空間の四面体に対して 拡張して、次の定理を紹介している。

　この定理を、「重心Ｇ」ではなくて、もっと一般の点にしたらどうなるだろうか 考えた。そして、できたのが次の定理である。

新定理

新定理の証明

　メネラウスの定理より、
　　　ｐ　　　　　ｓ＋ｔ　　　　　　ＥＰ
　　−−　×　−−−　×　−−−　＝　１
　　　ｑ　　　　　　ｔ　　　　　　　ＰＡ
が成り立つから、
　　　ＥＰ：ＰＡ　＝　ｑｔ　：　ｐ(ｓ＋ｔ)
となる。
　 　そこで、三角形ＯＡＥに対して、拡張された中線定理を適用すると、
�@　ｑｔＯＡ²＋ｐ(ｓ＋ｔ)ＯＥ² ＝ｑｔＰＡ²＋ｐ(ｓ＋ｔ)ＰＥ² ＋(ｐｓ＋ｐｔ＋ｑｔ)ＯＰ²
また、三角形ＯＢＣに対して適用すると、
�A　ｔＯＢ²＋ｓＯＣ² ＝ｔＢＥ²＋ｓＣＥ² ＋(ｓ＋ｔ)ＯＥ²
さらに、三角形ＰＢＣに対して適用すると、
�B　ｔＰＢ²＋ｓＰＣ² ＝ｔＢＥ²＋ｓＣＥ² ＋(ｓ＋ｔ)ＰＥ²
�Aより、ｐ(ｓ＋ｔ)ＯＥ²＝ｔｐＯＢ²＋ｓｐＯＣ² −ｔｐＢＥ²−ｓｐＣＥ²
�Bより、ｐ(ｓ＋ｔ)ＰＥ² ＝ｔｐＰＢ²＋ｓｐＰＣ² −ｔｐＢＥ²−ｓｐＣＥ²
この２つの式を�@に代入して整理すると
　ｑｔＯＡ²＋ｐｔＯＢ²＋ｐｓＯＣ²
＝ｑｔＰＡ²＋ｐｔＰＢ²＋ｐｓＰＣ² ＋(ｐｓ＋ｐｔ＋ｑｔ)ＯＰ²
が成り立つ。

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