1999年 9月15日(水)

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中線定理拡張(2)

中線定理の空間への拡張  取れたての定理!

 「取れたての定理です」第1巻では、「中線定理」を空間の四面体に対して 拡張して、次の定理を紹介している。

 四面体OABCにおいて、底面の三角形ABCの重心をGとすると、
   OA2+OB2+OC2= GA2+GB2+GC2+3OG2
が成り立つ。

 この定理を、「重心G」ではなくて、もっと一般の点にしたらどうなるだろうか 考えた。そして、できたのが次の定理である。

新定理


 四面体OABCにおいて、
  辺ABをp:qに内分する点をD
  辺BCをs:tに内分する点をE
  直線CDと直線AEの 交点をP
  直線BPと辺CAの交点をF
とする。


 このとき、
 qtOA2+ptOB2+psOC2
=qtPA2+ptPB2+psPC2 +(ps+pt+qt)OP2
が成り立つ。

新定理の証明

 メネラウスの定理より、
   p     s+t      EP
  −− × −−− × −−− = 1
   q      t       PA
が成り立つから、
   EP:PA = qt : p(s+t)
となる。
   そこで、三角形OAEに対して、拡張された中線定理を適用すると、
@ qtOA2+p(s+t)OE2 =qtPA2+p(s+t)PE2 +(ps+pt+qt)OP2
また、三角形OBCに対して適用すると、
A tOB2+sOC2 =tBE2+sCE2 +(s+t)OE2
さらに、三角形PBCに対して適用すると、
B tPB2+sPC2 =tBE2+sCE2 +(s+t)PE2
Aより、p(s+t)OE2=tpOB2+spOC2 −tpBE2−spCE2
Bより、p(s+t)PE2 =tpPB2+spPC2 −tpBE2−spCE2
この2つの式を@に代入して整理すると
 qtOA2+ptOB2+psOC2
=qtPA2+ptPB2+psPC2 +(ps+pt+qt)OP2
が成り立つ。

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