1999年 9月16日(木)

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安保の定理(1)

1点で交わる3つの円

 Fermat点というのは結局、三角形の各辺の上に正三角形をつくり、 その正三角形の外接円の交点になるのであった。

 これを証明するには、どれか2つの正三角形の外接円の交点を考えると この点と、正三角形の3点とで、円に内接する四角形ができるので、2つの外接円 の交点となる点における外角が60°となることがわかる。そして、このことから この点と、第3の正三角形の3点を結ぶ四角形の対角の和が180°になることから、 2円の交点は、また、第3円の上にあることが示される。

 この3つの円が1点で交わるという性質は どういうときに成り立つのだろうか?



3つの円が1点で交わるためには

 三角形の各辺の上に描かれた三角形の外接円3つが1点に交わる ときには、各辺の上に描かれた三角形の、もとの三角形の辺の対角の 3つの和が180°になっているから、 上のFermat点のときのような証明ができるためには、 そのような条件を満たすときがどういうときかを考えればよい。



定理1

三角形PQRがあり、辺QR上にA、辺RP上にB、辺PQ上にCの3点を取る。 三角形ABCの各辺上の3つの三角形 凾oBC,凾pAC,凾qAB の外接円は1点で交わる。


定理2

 凾`BCの各辺の上に相似な3つの三角形を描く。
相似の対応順に書いて、
  凾oBC ∽ 凾bAQ ∽ 凾aRA
が成り立っているとき、
この3つの三角形の外接円は1つの点で交わる。



 状況が少し違ってくるが、ほとんど同じ理由で、次の定理が成り立つ。

定理3

 凾`BCの直線BC上で、辺BCの外側に点P、辺CA上に点Q、 辺AB上に点Rをとり、三点P,Q,Rは同一直線上にあるとする。
このとき、凾`BC、凾`RQ、凾oQC、凾oRBの外接円は 1点で交わる。



 今日の3つの定理は、 「取れたての定理です」第2巻で 安保君が紹介した定理である。

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