1999年 9月16日（木）

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安保の定理(1)

１点で交わる３つの円

　Fermat点というのは結局、三角形の各辺の上に正三角形をつくり、 その正三角形の外接円の交点になるのであった。

　これを証明するには、どれか２つの正三角形の外接円の交点を考えると この点と、正三角形の３点とで、円に内接する四角形ができるので、２つの外接円 の交点となる点における外角が６０°となることがわかる。そして、このことから この点と、第３の正三角形の３点を結ぶ四角形の対角の和が１８０°になることから、 ２円の交点は、また、第３円の上にあることが示される。

　この３つの円が１点で交わるという性質は どういうときに成り立つのだろうか？

３つの円が１点で交わるためには

　三角形の各辺の上に描かれた三角形の外接円３つが１点に交わる ときには、各辺の上に描かれた三角形の、もとの三角形の辺の対角の ３つの和が１８０°になっているから、 上のFermat点のときのような証明ができるためには、 そのような条件を満たすときがどういうときかを考えればよい。

定理１

三角形ＰＱＲがあり、辺ＱＲ上にＡ、辺ＲＰ上にＢ、辺ＰＱ上にＣの３点を取る。 三角形ＡＢＣの各辺上の３つの三角形 �凾oＢＣ,�凾pＡＣ,�凾qＡＢ の外接円は１点で交わる。

定理２

　�凾`ＢＣの各辺の上に相似な３つの三角形を描く。
相似の対応順に書いて、
　　�凾oＢＣ　∽　�凾bＡＱ　∽　�凾aＲＡ
が成り立っているとき、
この３つの三角形の外接円は１つの点で交わる。

　状況が少し違ってくるが、ほとんど同じ理由で、次の定理が成り立つ。

定理３

　�凾`ＢＣの直線ＢＣ上で、辺ＢＣの外側に点Ｐ、辺ＣＡ上に点Ｑ、 辺ＡＢ上に点Ｒをとり、三点Ｐ,Ｑ,Ｒは同一直線上にあるとする。
このとき、�凾`ＢＣ、�凾`ＲＱ、�凾oＱＣ、�凾oＲＢの外接円は １点で交わる。

　今日の３つの定理は、 「取れたての定理です」第２巻で 安保君が紹介した定理である。

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