1999年 9月17日（金）

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安保の定理(2)

定理４

�凾`ＢＣの各辺の上に、図のように相似な三角形を描く。
図のように、３点Ｐ,Ｑ,Ｒは三角形の外側にとって、対応の順に
　　�凾oＢＣ∽�凾`ＱＣ∽�凾`ＢＲ
となるようにする。
　このとき、３つの三角形�凾oＢＣ,�凾`ＱＣ,�凾`ＢＲの外接円の中心を、 それぞれ、Ｏ₁,Ｏ₂,Ｏ₃とすると、 �凾n₁Ｏ₂Ｏ₃は３つの三角形と相似になる。

定理４の証明

　定理２の条件を満たしているので、３つの三角形の外接円は１点で交わる。 この点をＥとする。弦ＥＣと直線Ｏ₁Ｏ₂ の交点をＭ₁、 弦ＥＡと直線Ｏ₂Ｏ₃の交点をＭ₂とする。 ２中心を結ぶ直線と共通弦は直交するから、 四点ＥＭ₁Ｏ₂Ｍ₂は同一円周上にある。 この円に内接する四角形ＥＭ₁Ｏ₂Ｍ₂と �凾`ＱＣの外接円に内接する四角形ＥＣＡＱの対角の関係から、
　　∠Ｏ₁Ｏ₂Ｏ₃＝∠ＣＱＡ
が成り立つ。

　他の２つの角についても同様である。

定理４の系

　この定理４より、三角形の各辺の上に正三角形をのせたとき、 正三角形の重心と外心は一致することから、３つの正三角形の重心を 結んでできる三角形は、正三角形に相似になる、すなわち正三角形に なる。

　次の定理は、定理４からただちにわかる。

定理５

　三角形ＡＢＣの２つの辺の上に正方形をつくる。２つの正方形の外接円と 残った辺を直径とする円は一点で交わる。 また、残った辺の中点と二つの外接円の中心を結ぶと、直角二等辺三角形と なる。

　今日の３つの定理も、 「取れたての定理です」第２巻で 安保君が紹介した定理である。

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