1999年 9月17日(金)

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安保の定理(2)


定理4

凾`BCの各辺の上に、図のように相似な三角形を描く。
図のように、3点P,Q,Rは三角形の外側にとって、対応の順に
  凾oBC∽凾`QC∽凾`BR
となるようにする。
 このとき、3つの三角形凾oBC,凾`QC,凾`BRの外接円の中心を、 それぞれ、O1,O2,O3とすると、 凾n123は3つの三角形と相似になる。



定理4の証明



 定理2の条件を満たしているので、3つの三角形の外接円は1点で交わる。 この点をEとする。弦ECと直線O12 の交点をM1、 弦EAと直線O23の交点をM2とする。 2中心を結ぶ直線と共通弦は直交するから、 四点EM122は同一円周上にある。 この円に内接する四角形EM122と 凾`QCの外接円に内接する四角形ECAQの対角の関係から、
  ∠O123=∠CQA
が成り立つ。

 他の2つの角についても同様である。

定理4の系

 この定理4より、三角形の各辺の上に正三角形をのせたとき、 正三角形の重心と外心は一致することから、3つの正三角形の重心を 結んでできる三角形は、正三角形に相似になる、すなわち正三角形に なる。


 次の定理は、定理4からただちにわかる。

定理5

 三角形ABCの2つの辺の上に正方形をつくる。2つの正方形の外接円と 残った辺を直径とする円は一点で交わる。 また、残った辺の中点と二つの外接円の中心を結ぶと、直角二等辺三角形と なる。



 今日の3つの定理も、 「取れたての定理です」第2巻で 安保君が紹介した定理である。

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