1999年10月30日(土)

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杜陵サークル1999年10月例会

 朝、自動車のフロントガラスに霜がついているようになった。街路樹の葉っぱも色づき散っている。そして杜陵サークルの10月例会。

期日:1999年10月30日
時間:午後5時〜7時半
場所:岩手大学教育学部小宮山研究室
 出席者は、岩手大の小宮山先生・川村先生Xaviel伊藤・Simomac下町・Conic下河原・Edoward宮本の6名。

  学校で買った液晶プロジェクターはすごく便利です。この日もはるばる花巻から液晶プロジェクターを持ってサークルへ。私のレポートがホームページの「取れたて通信」だったので、これを使ってホワイトボードに映しての検討となります。Simomac下町もパソコンを使っての発表が多い。



今日のレポート

  1. Conic下河原 πとMathematica と続・2次曲線の幾何
  2. Simomac下町 コラッツ予想は証明可能なのか
  3. Xaviel伊藤 2次関数の指導メモ(その2)
  4. Simomac下町 Excelマクロ「担任秘書」の紹介
  5. Edward宮本 ホームページ「取れたて通信」から「ねずみネコワンダーランド」

Conic下河原

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 πとMathematica

 いつものようにTeXで作ったきれいなレポート。初めは小話で「πの神秘」という本のこういう記述・・・

 (πの)最初の144桁の数字を全部足すと666になる。
 ちなみに144は、(6+6)×(6+6)と表すこともできる。

 というわけで、Mathematicaを使って、これを確かめてみるには・・・というお話しでした。3.14159265358979・・・というわけで、小数点以下の144この数字を全部足す と確かに(Mathematicaで計算させると)666となるようである。

 さらに、小数360桁付近、正確にいうと、小数358桁、359桁、360桁の数は「3」「6」「0」になっていることも紹介されました。

 その後の雑談で、πの小数表示を、3.14のところだけは字を大きくして、続けて以下びっしりと書いた小数表示を書いた手紙を、バレンタインデーのお返しのホワイトデー(3月14日)に返すのだというお話しが、Simomac下町氏から提案されました。

 楕円上の3法線

 2次曲線の幾何シリーズの続きである。放物線上の3つの点における法線が一点で交わる条件を、楕円について考えていて、前回は楕円上の点の座標を、
  (x1、y1) (x2、y2) (x2、y2
として、この座標の満たすべき条件を求めたのだが、今回は、楕円上の点の座標を
  ( a・cosα、b・sinα) ( a・cosβ、b・sinβ) ( a・cosγ、b・sinγ)
とおいたときに、このα、β、γについて、
  sin(α+β)+sin(β+γ)+sin(γ+α)=0
という、きれいな式が成り立つことが紹介された。

 さらに、これまでのサークルの経験から、こういうレポートを発表すると、「じゃあ、双曲線のときはどうなるんだろう?」という宿題が出されることを予想した彼は、これと同様の結果を、双曲線の場合に対しても求めてきた。

 双曲線上の点を
  ( a・coshα、b・sinhα) ( a・coshβ、b・sinhβ) ( a・coshγ、b・sinhγ)
とおいて、3法線が1点で交わるための条件は
  sinh(α+β)+sinh(β+γ)+sinh(γ+α)=0
となることが示された。

 その後、この式の意味することはなんだろうか?とか、おもしろそうな特別な場合とかを書いてみたり、もう少し何か意味がないかと計算したりした。

 とてもきれいな結果にうれしくなった。楕円のときは、三角関数を使って、双曲線のときには双曲関数をつかうと、類似の式が成り立つというのがいい。んで、ひょっとすると、準線上でパラメータをとって、2次曲線上の3点を表すと、3種のどの2次曲線のときにも同じ条件に書けるのではないかと・・・思った。次回への宿題となった。



Simomac下町

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 任意の自然数に対して、それが偶数なら2で割り、奇数なら3倍して1を足すという操作を順次行っていくと、必ず1になる。というのがコラッツの予想である。

例えば、
   3→10→5→16→8→4→2→1
   9→28→14→7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1
などと、なるほど最後は1になる。ところで1になった後は、同じ操作を続けると、
   4→2→1
となって、[4,2,1]を繰り返すことになる。

 コラッツの予想は次のように言い換えることができる。

 すべての自然数は、コラッツの操作を繰り返したとき、かならず[4,2,1]の周期をもつ。

 このような観点から考えて、コラッツの操作の繰り返しによる変化を眺めてみて、場合分けを樹形図のように書いていく。このようにしてできた樹形図を、コラッツの樹と名づける。このコラッツの樹を眺めてみると、例えば、周期3のサイクルは[4,2,1]以外はないことが証明できたし、この樹のに出てくるものが、最初の数に戻るためには、最初の数が1,2,4以外ないことも証明できる。しかし、すべての枝についてかならず[4,2,1]となることが証明できるかどうか・・・やっぱりわからない。

 ところで、このコラッツの樹の枝別れの仕方が、
   1 2 3 5 8 13 ・・・
というようにフィボナッチ数列にしたがって枝分かれしているのが興味深い。

 最後に、彼の自作Excelマクロである「担任秘書」が紹介された。座席表作成・指導要録などの所見作成など、担任の日常業務で不可欠の道具がそろっている。

このエクセルのファイルのフロッピーサービスもあった。

Xaviel伊藤

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 9月例会の続きである。今授業している2次関数の指導の様子を報告した。

 グラフと方程式・2次方程式とその解・2次関数のグラフと判別式・グラフと不等式・2次不等式・・・

 いつもの事ながら、授業をする上での細かな配慮の仕方や、だましのテクニック、授業の合間のジョークなどを、丁寧に紹介してくれる。自分の授業のために大変役に立つ。



 Xaviel伊藤氏のレポートの一部を紹介しよう。たとえば、「ルート」の語源の紹介や、自分が混号プラスマイナスを漢字の「土」だと思っていた話しなどを組み合わせ、生徒たちの理解を導き、実際にできるようになっているという紹介である。



 今回紹介された、授業のためのワンポイント教具は、「Xavielの爪」であった。2次関数のグラフを書いて、正になるところ負になるところがグラフ上で分かっていても、それを、不等式の形で表現できないということで、考え出されたもの。指人形のように、指の先端に「x」と書いた紙をつけるだけなのであるが、これで、生徒が2次不等式を解けるようになった、ということである。



Edward宮本

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 私の発表は、このホームページ、みやじの部屋の「ねずみネコワンダーランド」の紹介でした。そちらをご覧下さい。もともと、「ねずみネコワンダーランド」は、むかしこのサークルでXaviel伊藤先生が発表したものを、私も真似をしてやっていたものだが、今回の発表は、Webページというメディアの特性を生かした教材開発を考える必要があるということもいいたくての発表であった。

本日の出席者

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 これまでに登場しなかった本日の出席者は次の方々でした。

 岩手大学の小宮山先生。このサークルの例会のために、自分の研究室を使わせてくださっている。



 今回発表がなかったが、川村先生。彼は高教組の青年部長の要職にあり、忙しいといううわさもある。



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