2000櫻雲祭(文化祭)

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 「球面の三角形」コーナーの右隣、中央の「塩で遊ぼう」コーナーのを背にして「コマを回そう!」のコーナーがあります。

コマを回そう!

 このコーナーは、パンフレットを読んで理解して積分の計算をしないとちゃんと回るコマができません。だから、ちょっと人気がない・・・それはあたりまえですが・・・

 それでも、真剣に取り組んでくれたお客さんもいました。

 最初は自分で自由に曲線の方程式を選んでもらおうかと思っていたのですが、y=x2のコマをあらかじめ用意しておいて、コマが回った人にはプレゼントを出すことにしました。




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軸をさすのは、どこがいい?

 図のように、三角形があります。各頂点には、同じ重さのおもりが一個ずつついています。これにつまようじをさしてコマを作るとき、軸はどこにしたらよいでしょう?

 コマがなめらかに回転するためには、重さに偏りがあってはふらふらしますよね。そこで、重さが偏らないような場所を探しましょう。

 図中緑の線は、左側の辺の中点とその対する頂点とを結んだ線分です。この線の両側に三角形も重さもバランスよく配置していますから、軸を指す場所はこの緑の線分のどこかにあるはずですね。


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 上の三角形を横から眺める、少し模式的に書くと、図のようになります。ちょうどつりあうような点に軸をさせば大丈夫のはずですよね。

 支店を中心に左回りにに回転させようとするのは、支点の左側、支点からの距離xのところにある重りmです。支点を中心に右回りに回転させようとするのは、支点の右側、支点から距離yのところにある重りnです。これがちょうどつりあうためには、
   x × m = y × n となります。

 今考えているコマでは、m=2、n=1なので、2x=yとなります。つまりx:y=1:2です。

 三角形の中線を1:2に分ける点というのは、中学校で勉強した「重心」です。重心という名前にぴったりですね。重心に軸をさせばコマはよくまわるのです。


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 放物線y=x2とy=x2と直線x=1とで囲まれた図のような形のコマを作るにはどこに軸をさしたらよいでしょう?

 x軸に対称な図形なので、軸はx軸上にさせばいいはずです。さて、x=0からx=1までの間のどこにさせばいいのでしょう?



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 x=0から、x=1までの間を細かく分割します。分割した一つ一つが、その点にかかっている重りと考えましょう。

 軸をさす位置をx=mとなる点としましょう。
 軸よりも左側では、軸から目盛りxの位置までの距離は m−x です。ここに重りが2x2 だけかかっています。
 一方、軸よりも右側では、軸から目盛りxの位置までの距離は x−m です。ここにやはり重さ2x2 だけかかっています。
 したがって、軸の両側で重りがつりあうためには、



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