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　この少年少女数学愛好会のシンボル的なものです。３年前の文化祭にむけて２ヶ月をかけて作りました。壁一面にはられたこのパスカルの三角形を見ると、少年少女数学愛好会が思い出されます。

パスカルの三角形

　　　　　　　　　　　　(ａ＋ｂ)¹＝ａ¹＋ｂ¹
　　　　　　　　　　(ａ＋ｂ)²＝ａ²＋２ａｂ＋ｂ²
　　　　　　　　(ａ＋ｂ)³＝ａ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²＋ｂ²
　　　　　　(ａ＋ｂ)⁴＝ａ⁴＋４ａ³ｂ＋６ａ²ｂ²＋４ａｂ³＋ｂ⁴
　　　　(ａ＋ｂ)⁵＝ａ⁵＋５ａ⁴ｂ＋１０ａ³ｂ²＋１０ａ²ｂ³＋５ａｂ⁴＋ｂ⁵
　　(ａ＋ｂ)⁶＝ａ⁶＋６ａ⁵ｂ＋１５ａ⁴ｂ²＋２０ａ³ｂ³＋１５ａ²ｂ⁴＋６ａｂ⁵＋ｂ⁶
　

　係数だけとって三角形に並べます。
　　　　　　　１　　　１
　　　　　　１　　２　　１
　　　　　１　３　　　３　１
　　　　１　４　　６　　４　１
　　　１　５　１０　１０　５　１
　　１　６　１５　２０　１５　６　１
　１　７　２１　３５　３５　２１　７　１
１　８　２８　５６　７０　５６　２８　８　１

　こうしてできる三角形を「パスカルの三角形」といいます。パスカルの三角形にはいろいろな性質が隠されていて、彼の有名なニュートンも、この三角形をしらべてニュートン級数を見つけたということです。

　さて、このパスカルの三角形で、偶数は青、奇数は赤というように２色で塗り分けてみましょう。そうすると写真のようになるわけです。写真ではさらに、ふもとに行くにしたがって、グラデーションをかけています。こうしてみると、おなじパターンの模様が繰り返し現われてきて、そのパターンがまた、同じようなパターンを作っていきます。この図形は自己相似図形となっていて、最近はやりのフラクタルになっているわけです。

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パスカルの三角錐？

(ａ＋ｂ＋ｃ)²の展開を考えましょう。
(ａ＋ｂ＋ｃ)²＝ａ²＋ｂ²＋ｃ² 　　　＋２ｂｃ＋２ｃａ＋２ａｂ
この各項を、
　　　　　　　ａ²
　　　　　２ａｂ　２ｃａ
　　　ｂ²　　２ｂｃ　　ｃ²
の形に配置します。係数だけとると

となります。

　これに(ａ＋ｂ＋ｃ)をかけます。ａ,ｂ,ｃの各項を上の三角形にかけます。
　　　　　　　　　　　　　ａ³
　　　　　　　　　　　２ａ²ｂ　２ｃａ²
　　　　　　　　　ａｂ²　　２ａｂｃ　　ｃ²ａ

　　　　　　　ａ²ｂ　　　　　　
　　　　　２ａｂ²　２ａｂｃ　　　　　　　ｃａ²
　　　ｂ³　　２ｂ²ｃ　　ｂｃ²　　　２ａｂｃ　２ｃ²ａ
　　　　　　　　　　　　　　　ｂ²ｃ　　２ｂｃ²　　ｃ³

この３枚の三角形の同類項を整理すると。
　　　　　　　　　　　　　　　ａ³
　　　　　　　　　　　３ａ²ｂ　　３ｃａ²
　　　　　　　　　３ａｂ²　　６ａｂｃ　　３ｃ²ａ
　　　　　　　ｂ³　　　３ｂ²ｃ　　　３ｂｃ² 　 ｃ³

となります。これの係数だけ並べるととなります。

　以下、同様にして、

これらを組み立てたものが です。

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　パスカルの三角形と同じように、そのでき方から、上の段の隣接する３つの球の数の和が次の段の数になっていきます。たとえば、写真の真中の３つの２の和である６が、次ぎの段、

　真中の６になっていきます。この３角錐の側面には、パスカルの三角形が見えてますね。　

　この３角錐の中には、パスカルの三角形と同じような性質が隠されていると思います。例えば、パスカルの三角形では、第ｎ段の数を横に足し合わせていくと２ⁿとなっています。この三角錐の格段の和を計算してみると
　第１段　　３
　第２段　　９
　第３段　２７
　第４段　８１
と成っていることが分かりますね。

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