2000櫻雲祭(文化祭)

ホームへ

 この少年少女数学愛好会のシンボル的なものです。3年前の文化祭にむけて2ヶ月をかけて作りました。壁一面にはられたこのパスカルの三角形を見ると、少年少女数学愛好会が思い出されます。

パスカルの三角形


            (a+b)1=a1+b1
          (a+b)2=a2+2ab+b2
        (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2
      (a+b)4=a4+4a3b+6a22+4ab3+b4
    (a+b)5=a5+5a4b+10a32+10a23+5ab4+b5
  (a+b)6=a6+6a5b+15a42+20a33+15a24+6ab5+b6
 

 係数だけとって三角形に並べます。
       1   1
      1  2  1
     1 3   3 1
    1 4  6  4 1
   1 5 10 10 5 1
  1 6 15 20 15 6 1
 1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

 こうしてできる三角形を「パスカルの三角形」といいます。パスカルの三角形にはいろいろな性質が隠されていて、彼の有名なニュートンも、この三角形をしらべてニュートン級数を見つけたということです。

 さて、このパスカルの三角形で、偶数は青、奇数は赤というように2色で塗り分けてみましょう。そうすると写真のようになるわけです。写真ではさらに、ふもとに行くにしたがって、グラデーションをかけています。こうしてみると、おなじパターンの模様が繰り返し現われてきて、そのパターンがまた、同じようなパターンを作っていきます。この図形は自己相似図形となっていて、最近はやりのフラクタルになっているわけです。


 トップへ  もどる  次へ  最後へ  



パスカルの三角錐?

(a+b+c)2の展開を考えましょう。
(a+b+c)2=a2+b2+c2    +2bc+2ca+2ab
この各項を、
       a2
     2ab 2ca
   b2  2bc  c2
の形に配置します。係数だけとると

となります。

 これに(a+b+c)をかけます。a,b,cの各項を上の三角形にかけます。
             a3
           2a2b 2ca2
         ab2  2abc  c2

       a2b      
     2ab2 2abc       ca2
   b3  2b2c  bc2   2abc 2c2
               b2c  2bc2  c3

この3枚の三角形の同類項を整理すると。
               a3
           3a2b  3ca2
         3ab2  6abc  3c2
       b3   3b2c   3bc2   c3

となります。これの係数だけ並べるととなります。

 以下、同様にして、

これらを組み立てたものが です。



 トップへ  もどる  次へ  最後へ  



 パスカルの三角形と同じように、そのでき方から、上の段の隣接する3つの球の数の和が次の段の数になっていきます。たとえば、写真の真中の3つの2の和である6が、次ぎの段、


 真中の6になっていきます。この3角錐の側面には、パスカルの三角形が見えてますね。 

 この3角錐の中には、パスカルの三角形と同じような性質が隠されていると思います。例えば、パスカルの三角形では、第n段の数を横に足し合わせていくと2nとなっています。この三角錐の格段の和を計算してみると
 第1段  3
 第2段  9
 第3段 27
 第4段 81
と成っていることが分かりますね。


 トップへ  2000文化祭へ  ホームへ

Ads by TOK2