授業の実況中継・・・確率とは・・・
中学校では
Ｍ先生： 昨日は一時間、コインを投げてみんなで不思議な賭けのシミュレーションをしてもらいました。今日はこの結果を見ながらやっていきましょう。
Ｍ先生： ところで、「確率」は中学校でも勉強してきたわけですが、中学校のときにもこういうコインを投げたりサイコロを投げたりする実験をしてきたと思いますが、どうでしょうか？中学校の授業ででそういう実験をしてきたという人は手をあげて。
・・・８人の生徒が手をあげる・・・
Ｍ先生：
ずいぶん少ないなあ・・・
中学校のときには、確率とはどういうものと勉強してきましたか？
生徒１： 場合の数を全体の数で割ったもの！
Ｍ先生： そうか・・・。じゃあ、たとえば、こういうことだね。３本が「あたり」７本が「はずれ」の合計１０本のくじをひくときに起こりうる場合は、「あたり」と「はずれ」の２通りだから、このくじを引いて「あたり」がでる確率は １／２ となるわけですね。生徒１： それはちがうよ！ ３／１０ だよ。
Ｍ先生： じゃあねえ、画鋲を投げたときに、針が上を向く確率はどうなるのだろう？確率の定義
Ｍ先生： 画鋲を投げたときに、針が上を向く確率は １／２ だろうか？ ○○君が「場合の数を全体の数で割ったもの」と言ったけれども、そうであれば、１／２ だろうね。
生徒１： ちがうと思う。
生徒２： 中学校のときに実験したけど、１／２ じゃなかった。
Ｍ先生： おお、実験した人がいるんだね。んで、この場合の確率とういうのは、何だった？
生徒２： たくさん回数を増やしていったときに、上を向いた回数の比率がだんだん安定していって・・・
Ｍ先生： 昨日、みんなに賭けをやってもらったのだけれども、その集計表を見てみよう。何回で勝ったかによって、その１回の賭けで何回裏がでたか計算できるよね。例えば、３回で勝負がついたということは、裏→裏→表 と出たということだから、この１回の賭けで裏が２回、表が１回でたということですね。そうやって、みんなの報告書のデータから昨日１時間の間に、みんなが１０円玉を投げた回数を計算しました。表の一番右の欄がそうです。見てみましょう。
Ｍ先生：
全部で１１０３回の表と、１０８０回の裏がでていますね。みなさんが各班でやっているときには、たとえば、「しんたろうＶＳきみこ」の班では表が４１回、裏が２３回だけど、「あさぬまＶＳこしば」の班では表が４９回、裏が８７回というように、偏ってでている。けれども、みんな合わせて２１８３回もやると、ほぼ半々の割合で表と裏がでているようですね。
・・・生徒は、そういうことを中学時代にやったことを思い出したのかうなずく・・・
それでは、ちょっと確認しておきたいことがあるのですが、
１ １０回も続けて表が出たので、そろそろ裏が出ても良いころだろう
従って裏の出る可能性の方が大きい
２ １０回も表が出るということは非常にまれなことにちがいない。
それが起きたのだから、コインか何かに細工がしてあって、
表が出やすくなっているにちがいない。
次も表が出る可能性が大きい
こういう言い分はよく聞きますよね。商店街の歳末福引なんかで自分の前の人があたりを引いてしまうと、なんだか自分には当たらないような気がしたりね・・・
・・・生徒はにこにこ笑う・・・
確率の意味
Ｍ先生： さあ、どうだろう。１番について、どう思うか聞いてみようか。手を挙げてください。
・・・そう思う １５人・・・・・・そう思わない ２５人・・・
Ｍ先生： ２番はどうだろう？
・・・そう思う １５人・・・・・・そう思わない ２５人・・・
Ｍ先生： どちらもだいたい同じ数ですね。どうしてこうなのか、聞いてみましょうか
生徒２： 確率が１／２ということは、たくさん回数をやったときに、半々に近づくという意味で１回１回について、その比率になるように出るという意味ではないはず・・・
生徒３： でもさ、裏が出にくいコインっていうもあったら、１／２でないだろうから、何回かやってみて様子を見てればそういう傾向がでるよ、きっと
生徒４： 昨日の実験の結果、私たちの班では、２円が有利だと思ったのに、別の班では、私たちの同じ理由で３円が有利だと思っているというように、実験によって 結果にゆれ がでてるから、１０回ぐらいじゃわかんないんじゃない？
Ｍ先生： いま、昨日の実験データの話がでたから、みんなで見てみようか。
| メンバー | １回 | ２回 | ３回 | ４回 | ５回 | ６回 | ７回 | ８回 | ９回 | 10回 | 11回 | 12回 | 13回 | 表の回数 | 裏の回数 |
| めぐみＶＳてっぺい | 23 | 9 | 8 | 5 | 4 | 1 | 50 | 62 | |||||||
| しゅんＶＳのぞみ | 24 | 9 | 10 | 3 | 3 | 1 | 50 | 56 | |||||||
| つよしＶＳえり | 41 | 10 | 6 | 5 | 1 | 1 | 64 | 46 | |||||||
| こうたＶＳあきこ | 28 | 11 | 9 | 1 | 1 | 50 | 36 | ||||||||
| しんＶＳみちよ | 49 | 28 | 14 | 4 | 4 | 1 | 100 | 92 | |||||||
| こうじＶＳまりこ | 24 | 16 | 9 | 3 | 1 | 1 | 50 | 52 | |||||||
| まさみちＶＳめぐみ | 26 | 14 | 5 | 3 | 2 | 50 | 41 | ||||||||
| りさＶＳたかのぶ | 22 | 13 | 7 | 1 | 4 | 1 | 2 | 50 | 63 | ||||||
| よしたかＶＳかおり | 22 | 18 | 4 | 4 | 1 | 1 | 50 | 49 | |||||||
| げんきＶＳさとみ | 30 | 9 | 5 | 1 | 2 | 1 | 50 | 47 | |||||||
| のぶあきＶＳまさみ | 25 | 9 | 7 | 7 | 1 | 1 | 50 | 54 | |||||||
| しんたろうＶＳみきこ | 24 | 12 | 4 | 1 | 41 | 23 | |||||||||
| ふうこＶＳみなみＶＳけいと | 25 | 12 | 6 | 5 | 1 | 49 | 43 | ||||||||
| ちばＶＳはるか | 19 | 16 | 5 | 7 | 1 | 1 | 1 | 50 | 64 | ||||||
| とくのぶＶＳめぐみ | 30 | 16 | 6 | 4 | 3 | 59 | 52 | ||||||||
| ちさＶＳまい | 29 | 9 | 9 | 3 | 1 | 51 | 41 | ||||||||
| まさゆきＶＳしんじ | 38 | 25 | 12 | 8 | 2 | 1 | 86 | 86 | |||||||
| やすゆきＶＳみさき | 27 | 7 | 14 | 2 | 50 | 41 | |||||||||
| あさぬまＶＳこしば | 14 | 19 | 6 | 2 | 3 | 1 | 3 | 1 | 49 | 87 | |||||
| かまたＶＳたかはし | 23 | 9 | 8 | 5 | 4 | 1 | 50 | 45 | |||||||
| クラスの合計 | 549 | 271 | 152 | 72 | 34 | 11 | 7 | 4 | 2 | 1 | 1103 | 1080 |
Ｍ先生： このデータを見ていると、１２回も連続して裏が出て、やっと表がでたということがあったようだね。あさぬま＆こしば班だね。ということは、１０回連続して裏が出たから、次は表が出るというのはどんなもんだろうね・・・。それから、こういうことがあったからといって、けっして裏が出やすいというわけでもないよね。
Ｍ先生： もう一つ見て欲しいところがあるんだけど・・・ この表の一番下のクラスの合計のところをみてほしい。全部で１１０３回の賭けをやったことになるのだけれど、１回目に表が出ているのは５４９回になっているよね。裏が出やすい班も表が出やすい班もあったけど、
| メンバー | １回 | ２回 | ３回 | ４回 | ５回 | ６回 | ７回 | ８回 | ９回 | 10回 | 11回 | 12回 | 13回 | 表の回数 | 裏の回数 |
| クラスの合計 | 549 | 271 | 152 | 72 | 34 | 11 | 7 | 4 | 2 | 1 | 1103 | 1080 | |||
| 理論値 | 552 | 276 | 138 | 79 | 39 | 19 | 9 | 5 | 4 | 2 | 1 | 1103 | 1080 |
Ｍ先生： どうだろう・・・もしも１０円玉を投げるとき、表が出る回数と裏が出る回数が、ず〜っと回数を多くしていったときに １／２ に安定していくとしたときに、１１００回もやれば、１回で勝負がつくのは、半分の５５０回だろうし、それで勝負がつかない場合も、やっぱり、同じ半々であれば、２７５回が次で勝負がつくだろうし、それでもつかないときというのは、裏が２回も続いているのに、それでも次の回で勝負がつくのは、やっぱりその半分、・・・となっている・・・というのが「理論値」という意味です。実際に君たちが実験した結果を見ても、かなり近い線いっているよね。
・・・生徒うなずく・・・
Ｍ先生：
さて、もうひとつ確認しておきたいことがあって、
３ コインを投げる条件など、全ての情報がわかれば、
完全に次に何が起こるか解くことができるはずだ。
従って、表がでるか、裏がでるかは必ずどちらかに決まる！
どうだろうか？この意見に賛成の人は？
必然の出来事と偶然の出来事
Ｍ先生：
たとえば、このチョークをすっかり同じ条件で放り投げることができれば、すっかり同じ軌跡を描いて落ちていくでしょう。
これに対して賛成の人は？
Ｍ先生： そうですねえ。コインを投げるときに、投げ出す角度とか、与える回転とか、着地点の材質とかあらゆるデータが全部そろったら、裏か表か計算できるかな、原理的にはどうで しょう？・・・
できると思う人 ・・・ ２２人Ｍ先生： 例えば、地球上のあらゆる点での気象に関係するすべてのデータが集められたら 大気の動きは、理科で勉強するような自然界の法則にしたがって変化していって 明日の天気は、そのデータをもとに確定できますか？ すべてのデータが集められたとして、ちゃんと計算できるとしてという仮定のうえ で、どう思います？
確定できると思う人 ・・・ １５人
Ｍ先生：
ところが、現実には、そんな膨大なデータは手に入らないし、計算だってできないと思う。
原理的には、コインを投げるすべての要素を全部分かればその後の運動をすべて予測することができるかもしれません。けれども、そういうことは、可能とは思えませんね。現実的には予測不可能といっていいと思います。
また、気象データに影響を与えるものすべてを考えたとき、ある地点でだれかが火を燃やしたとかそういうことまで影響すると思います。そうすると、その火を燃やそうと思った人間の脳の中の働きまで、すべての要素を知ることが必要です。そういうことを考えてみると、すべてのデータを知れば・・・という考え方は、人間の心の動きまでもすべて決定できると思ってしまうことではないでしょうか。
こういうことを考えてみると、世の中には、物理で勉強する「質点の運動」のように、その質点に働く力と初期条件が決まってしまうと、その後すべてを予測することができるというような現象と、コインを投げるときのように、偶然に左右されている現象の２種類あるということになるでしょうか。
中学校で学んだことのまとめとこれから学ぶこと
これから学ぶ「確率」というものは、偶然に支配されて起こるような事柄を考察の対象とするわけです。例えばコインを投げるということを考えると、このことは、偶然に支配されていて、次に表がでるか裏がでるか、その個々の場面で原因と結論という関係では予測することはできません。１０回裏が続いていたからといって、次は表になるかどうかは分からないのです。
けれども、偶然に左右されることを何回も何回もやっていると、ある「傾向」が見えてくるようになるのです。みなさんに実験してもらった結果で言うと、１０円玉を投げるという「偶然に支配される」ことを何回もやっていくと、表が出る比率も裏が出る比率もだいたい ０.５ ぐらいに近づいていきます。
この「傾向」を知っていると、皆さんにやってもらったような賭けの場合に、何回もやっていると大体どのような傾向で勝負がつくかが予測できました。そしてそれは、実験の結果にかなり近いものでした。
Ｍ先生： というわけで、偶然に左右される事象に現われる「傾向」とその傾向を組み合わせてどのようなことが考えられるのかをこれから勉強していくのです。中学校の時には、すべての場合をリストアップできるような場合だけで考えてきましたが、高校でこれから学習するのは、リストアップはできないけれども、計算はできるような場合とか、また、起こりうるすべての事象はわからなくても、実験の結果からわかった「傾向」だけをつかってどこまで予測可能であるかとか、そういうことを学んでいくわけです。
進む
バックに流れている曲は、モーツアルトの曲です。モーツアルトは、１小節単位でメロディーの断片を作りました。そして演奏者はサイコロを振ってその断片をつなぎ合わせて演奏するのだそうです。 ランダムに曲の断片をつなぎ合わせて演奏するプログラムが @nifty のパソコン通信で nifty:FMIDICLA/LIB/07/208 データ名：音楽のさいころ遊び にあります。使わせていただきました。
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