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授業の実況中継・・・「数学的確率」とは・・・

授業３時間目

Ｍ先生： 昨日は「偶然的な事象」と「必然的な事象」の違いを考えて、これから学習する「確率」によって考察する対象となるのは「偶然的な事象」についてであること、偶然に左右されるようなことに対しても、回数を大きく取っていくと、ある事柄が起こる比率がある一定の値に近づいていくこと、その近づいていく値を「確率」と考えること、「確率」を使って予想することが実際に起こっていることなどを見てきました。

Ｍ先生： 昨日の話の中で、１０本中３本の当たりが入っているくじの話がちょっとでましたが、このくじを引いたとき、起こりうるのは、「あたり」か「はずれ」の２つしかないので、あたる確率は　１／２　であろう・・・ということを、私が言ったら、誰かが、それは違う、３／１０　が正しい、ということを言ってましたね。これはどういうことでしょうね？

　　　　・・・生徒、ちょっと困った顔をする・・・

生徒１： 確率は、場合の数を全体の数でわったものだって、中学校で習った

生徒２： 同じものになる！

Ｍ先生： 割り算して得られる数値といっぱいやったときに近づく値とじゃ、言葉だけとってもちがうもののような気がするけどなあ・・・

生徒２： じゃあ、違うもの！

Ｍ先生： 「じゃあ」じゃなあ・・・

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３／１０　か　１／２

Ｍ先生： ３／１０だろうか、１／２　だろうか？　どっちだか聞いてみようかな。

Ｍ先生： じゃあ、どうして　１／２　はだめなんだろう？

生徒１： １０本のなかに３本しか当たりがないのに、半々っていうのは変だ！

Ｍ先生： じゃあ、どうして　３／１０　なんだろう？

生徒２： だって、１０本中３本だから・・・

Ｍ先生： １０本中３本だと、どうして　３／１０　となるのだろうね？

生徒３： だってそうならった・・・

Ｍ先生： そうかあ、じゃあ、授業で死ねといわれたら、理由もわからず死ぬんだな君は・・・

生徒３： そんなことはないけど・・・

Ｍ先生： じゃあ、場面を変えて、１０円玉のときはどうだろう？
１０円玉を投げるとき、表か裏かの２通りで、表が出る確率は　１／２　だし、
くじのときには、「あたり」か「はずれ」の２通りで、「あたり」がでる確率は　１／２
となりますね。どちらも、同じような状況になっていて、同じ理由で　１／２　と言っているわけですが、君たちは、上はＯＫだけれども、下はダメなんだね。どこが違うの？

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同様に確からしい

生徒４： くじのほうは、１０本中あたりが３本しかないから、当たりは出にくいけど、１０円玉の方は、どちらも出やすいとも出にくいともいえない。同様に確からしい。

Ｍ先生： 今、「同様に確からしい」という言葉が出たけど、この言葉、中学校で聞いたことがある人何人ぐらいいます？

Ｍ先生： おお！　去年はねえ、聞いたことがある人がクラスに２人しかいなかったよ。今年の１年生は優秀なのかもしれないなあ・・・

Ｍ先生： 　さて、１０円玉を投げるときに、表が出るのと裏がでるのと２つの場合が考えられるが、この２つの場合は、「同様に確からしい」のでしょうか。？
　１０本中３本のあたりの入っているくじの場合、あたりがでるのとはずれがでるのと２つの場合が考えられる。この２つの場合は「同様に確からしい」のでしょうか？

Ｍ先生： 　全員が同じ意見のようですねえ。どうして１０円玉を投げるときには同様に確からしくて、くじのときにはそうではないのでしょうかねえ。

生徒１： 　くじは１０本中３本があたりだから３／１０で、半々ではないから。

Ｍ先生： ３／１０という数は、いったい何なのでしょう？

生徒１： 　確率です。

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確率とは

Ｍ先生： 偶然に左右されるようなことに対しても回数を大きく取っていくと、ある事柄が起こる比率がある一定の値に近づいていき、その近づいていく値を「確率」と考える・・・というのが「確率」だったわけですが、どうして、３／１０が確率なのでしょう？

生徒３： 先生！　あたりとはずれは同様に確からしくないけれど、１０本のなかの一つ一つについてみると、どの一つをとっても、みんな同様に確からしいと思う。

Ｍ先生： みんなどう思う？

Ｍ先生： 　ちょっと補足しながら○○君の意見を説明しましょうか・・・。
　あたりが３本、はずれが７本の全部で１０本のくじからでたらめに１本引くときに、どの１本を引くのも同様に確からしいだろう。つまり、１０本のなかから１本ひくということを繰り返したときに、どの１本も同じ比率で出るであろう。つまり、その比率は全体１を１０本で平等にわけているから　１／１０　になるでろう。
　ということだろうと思うのですが、そうですか？

生徒３： そう！

Ｍ先生： 　１０本のうち、当たりは３本あるから、１／１０　の３倍になって、当たる確率は　３／１０　になるであろう・・・、つまり、何回も何回もくじをひいていくと、当たりがでる比率は　３／１０　に近づくに違いない・・・ということになりますかね。

Ｍ先生： 　コインのときと同じ状況になりますよねえ。コインの時には、裏が出るか表が出るか、どちらかで、どちらも同様に確からしいだろうから、全体１を２つで平等に分けているから　１／２　となる。

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Ｍ先生： 　まとめましょうかね。
　偶然に左右されるような現象を考えることが大前提
　繰り返し行ったときに、いろいろなことが起こるわけですが、起こりうるすべての場合を考えることにしましょう。
　もしも、起こりうるすべての場合について、どの場合もどれかがどれかよりも起こりやすいとか、起こりずらいということがないのならば、
　みんな同じ比率で出るであろう。
　そういうときには、全体１をすべての場合で平等に分配されるから、どの場合も　１／(全ての場合の数)　という比率に近づいていくだろう・・・

Ｍ先生： 　というわけで、確率を考えていくときに大事なことは、
　　　１　どういう試行をしているかを確認すること
　　　２　その試行の結果起こりうるすべての場合をリストアップすること
　　　　　そのひとつひとつがどれも「同様に確からしく」なるようなリストアップの仕方をすること
　　　３　求めたい事象の確率を求める。
ということになります。

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「確率」と「数学的確率」

Ｍ先生： 　もう一度、コインを投げることをかんがえてみましょう。
ここに１０円玉がありますが、これを投げて表が出る確率というのは、
　　何回も何回も投げ続けていったときに、表が出る比率がある一定の値に近づいていくであろう、その値
ということになるわけですが、この値というのは、いっぱい実験してみないとどのぐらいの値になるかわからないし、そういう実験をしているうちに、人間は死んでしまうでしょうし、実現不可能なこと、知ることが不可能な値のようなきがしませんか？

Ｍ先生： 　そうすると、１０円玉を投げたときに表が出る「本当の」確率なんてわからないわけです。

　だけれども、１０円玉をじっとみているとね、（笑い・・・）、表が出やすいとか、裏が出やすいという合理的な理由が見当たらないので、きっと、表が出るのも裏が出るのも「同様に確からしい」と「思われます」。そういうように考えると、全体１の比率が、表と裏に平等に分配して、どちらも　１／２　の比率ででるようになる・・・と考えることが、もっともらしい・・・ということになります。

Ｍ先生： 　そういうように考えると、
　　　多数回１０円玉を投げたときに、表が出る比率が安定するであろう値
という「確率」と、
　　　（場合の数）／（起こりうる全ての場合の数）
という「確率」は、本当は「別物」であるという感じがしませんか？

Ｍ先生： 　偶然に左右される現象を考えるときに、
　「本当の」確率は知ることは出来ないのであるが、
　同様に確からしい全ての場合の一つ一つは等しい比率で起こるであろう
　と考えることによって、実際の現象をシミュレーションしているのです。

　このシミュレーションが実際の現象と合致していることは、みなさんの賭けの結果を見てみても分かることだろうと思います。

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数学的確率の定義

　・・・というわけで、

　偶然に左右されるような現象を考えるときに
　起こりうる全ての場合を考えます。
　　　その一つ一つは「同様に確からしい」ものであるように考えて、
　　　リストアップしたものが「全事象」であり、
　　　その中のひとつひとつが「根源事象」であるわけです。
　ひとつひとつが「同様に確からしい」と合理的に判断される場合には、
　　　全体１の比率が、それぞれに平等に分配されていると考えて、
　　　今考えている事象の分だけの比率になるであろう
　と考えて、
　　　（場合の数）／（全事象の数）
　を、「数学的確率」と定義することになります。
　現実の現象をシミュレーションする、「理想的な数学的なモデル」と考えるといいと思います。

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