授業の実況中継・・・数学的確率を考える
授業４時間目
Ｍ先生： 昨日は「偶然的な事象」に対して回数を大きく取っていくと、ある事柄が起こる比率がある一定の値に近づいていき、その近づいていく値を「確率」と考えること、その値は実際にはわからないかもしれないが、理想的な状況を考えると「数学的確率」を定義することを考えました。
Ｍ先生： 数学的に確率を考えるときには、起こりうる全ての場合をリストアップすることが大切です。そのとき、一つ一つは同様に確からしくなるように考えなければなりません。ところが、たとえば、画鋲をなげてどっちを向くかを考えるときには、同様に確からしい全事象のリストアップなんてのはできませんよね。
Ｍ先生： 例えばねえ、商店街の歳末福引なんて見てみると、昔はね、抽選機があってガラガラと一回転すると口からポトリと小球がでてきて、その色ではずれのティッシュだったり、５等の醤油がもらえたり・・・という感じでしたが、最近は違うんですよね。テレビが置いてあって、そのテレビにファミコンみたいなのがついてて、ボタンを押すと画面が色とりどりに変わってピコピコと電子音がして、そして結果がでる。残念でした・・・とか、おめでとう！３等賞です、とかね。
ガラガラと回すときには、きっと抽選機の中には最初に賞品の数だけいろんな色の球が入れられていて、その中から球がでるのでしょう。だから、用意された１等賞の賞品の数しか１等賞の球は入っていないでしょうから、だれかが１等賞を出せば、その後はもう出ることはない。
ところがファミコンで抽選するっていうことは、おそらく、ある一定の比率で１等、２等、３等、・・・参加賞・・・が出るようにプログラムしていることでしょう。この場合には、各抽選のときにも、各賞が出る確率は一定になっているでしょうから、かなり小さい確率ではあるけれども、１等賞がでた後も１等賞がでる確率は変わらないのではないかと思うんです。
そこのところの違いがわかるかな？
・・・なるほどという生徒、ちょっと困った顔をする生徒、いろいろ・・・
生徒１： でも、１等賞の数が決められた数しかでないようにプログラムしてるかもしれない・・・
Ｍ先生： ああ、それは考えられるよね。私が福引実施委員だったら、そういうプログラムにしてもらうだろうね。だって、賞品を用意するのに、数が決まってないと困ってしまうからね。まあ、でも、仮定の話として、抽選するたびに、各賞の比率が同じであると考えましょうね。こういう場合には、どういう「全事象のリストアップ」になるのだろう？ ・・・どういうことだか、質問の意図がわからない様子・・・
Ｍ先生：
別の例でいうとね、例えばサイコロを投げるときのことを考えようね。１の目が出る確率は１／６、２の目が出る確率は１／６・・・。これは、全事象を考えると、目の数が、１,２,３,４,５,６の６通りであって、どの目がでるのも同様に確からしいと考えられるから、１／６となるわけですが、これは普通のサイコロのときの話。
もしもサイコロが直方体だったら、どうだろう？ どの目がでるのも同様に確からしいといえるだろうか？
生徒２： いえない。
Ｍ先生： 同様に確からしくないだろうね。きっと。何年か前には、こういうサイコロを使って実験してみました。ドタッて倒れるから、さいころじゃなくて「サイドタ」と名前をつけてね。確かに各目の出現比率は等しくなかったよ。こういう時には、全事象のリストアップなんてしてもしょうがないのかなあ・・・
Ｍ先生： というわけで、話を簡単にするために、ちょっと単純な二つの場合を考えよう。１ ３本のあたり、７本のはずれ の計１０本のくじをひく場合。
２ コンピュータが、出現率０.３であたり、出現率０.７ではずれ
が出るようにプログラムされている場合
という二つの場合。
１の場合には、全事象は｛○1,○2,○3,×1,×2,×3,×4,×5,×6,×7｝という同様に確からしいリストができるわけですが、
２の場合は、どうなるのだろう？
どこが違うの？
生徒３： どっちも同じ確率になるのに、どこが違うの？
・・・同感であるという顔つきＭ先生： だってさあ、素直に考えれば、起こりうる場合としては｛ ○,× ｝だけなんでしょ。そして、これでは同様に確からしくない！
・・・これにも同感であるという顔つきＭ先生： みんなが同じというなら、２の場合にも「全事象のリストアップ」は、｛○1,○2,○3,×1,×2,×3,×4,×5,×6,×7｝としてよいというのでしょうか？
・・・当然だという表情の生徒、そういわれると、ちょっと疑問という生徒
困った顔の生徒
Ｍ先生：
「サイドタ」を転がしたときにね、こんな感じの出現比率になったんです。
| サイドタの目 | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ |
| 出現率 | 0.10 | 0.18 | 0.22 | 0.22 | 0.18 | 0.10 |
生徒４： 全事象はそれでいいと思うけど、同様に確からしくないし、確率が１／６っていうように計算できない。
・・・みんな同意見のようす・・・数学的確率とは
Ｍ先生：
このサイドタの「全事象リストアップ」として、
１と書いたカード ５枚を一枚一枚区別したもの
２と書いたカード ９枚を一枚一枚区別したもの
３と書いたカード １１枚を一枚一枚区別したもの
４と書いたカード １１枚を一枚一枚区別したもの
５と書いたカード ９枚を一枚一枚区別したもの
６と書いたカード ５枚を一枚一枚区別したもの
の全部で５０枚のカードだと思うっていうのはどうだい？
生徒５： 全然違うじゃん！
生徒３： 確率は同じになる
Ｍ先生： みんなどう思う？
多くの生徒はよく分からない様子
Ｍ先生：
数学的な確率を定義したんだけど、試行の結果を素直に表せばそのまま同様に確からしい全事象のリストアップができる場合は、問題ない。でも、今日考えているのは、そうでない場合です。
こういう場合でも、実際に起こっていることにあわせて、同じ確率になるように全事象のリストアップを作り上げることをします。このようにすることによって、これから勉強する確率の計算が適用できるからです。
サイドタの全事象がカードになってしまう・・・カードでなくてもいいのだけど・・・ところ、モノはちがっても、でてくる確率は同じになるのだからいいじゃないかという感じ。ここのところは、納得できない人は、大学行ってちゃんとした確率論を勉強しましょう。一応、こういうふうに理解しておいて大丈夫だと思いますよ。
Ｍ先生：
昨日は「数学的な確率」について、現実の現象をシミュレーションする「理想的な数学的なモデル」と考えるといいと言いましたが、今日の例は、現実と数学的なモデルの違いがはっきりとするものだったのではないでしょうか。
これから、こういうところから出発して教科書の問題を考えていきます。
試行とか全事象などの定義を教科書の記述にしたがって説明していく
問い、例題、練習問題も順に解いていく
そのときには、いつも「試行」「同様に確からしい全事象リストアップ」
をしつこく確認しながら考えていく・・・
進む
