授業の実況中継・・・期待値とは
授業１０時間目
Ｍ先生：
今日は期待値だね。教科書を見てみよう。
１０００本のくじがあって、その中には
１等 １００００円 が ５本
２等 １０００円 が ２０本
３等 ２００円 が ７５本
はずれ ０円 が ９００本
というようになっている。このくじを１本だけ引くとき、どれだけの賞金が期待されるかを考えてみよう。
賞金の総額を計算してみると、
１００００×５＋１０００×２０＋２００×７５＋０×９００＝８５０００
となって、８５０００円だから、これは１０００本のくじの総額だから１本あたりは、８５円となる。つまり、くじ１本で８５円の賞金が期待できる。
Ｍ先生： というのが教科書に書いてあることである。このくじを全部買い占めてしまえば、賞金の総額８５０００円全部自分のものですよね。うん、ゴージャスだな。８５０００円ぼろ儲けだ。どうしてみんなくじを全部買ってしまわないのだろう？
生徒１： 先生！そんなこと言ったって、くじを買うのにお金を払うんでしょう？
Ｍ先生： そうか、くじ１本買うのに１００円払ってしまえば、賞金は１本あたり８５円だから、損することになるか・・・、残念だな。生徒２： 宝くじなんて、損することになってるんだよ。
Ｍ先生： そうだろうか？だってね、１０本買ったら、その中に１等と前後賞、あわせて１億円なんてあたればね、３００円×１０＝３０００円払ったって、断然お得じゃないか。私は、今１億円当たれば、教員なんて辞めてしまうかもしれないな。当てて人生たて直しだな。
生徒２： でもさ、１等なんてなかなか当たらないんでしょう？
偶然か必然か
Ｍ先生： 「確率」を考えるということは、偶然に左右されることを扱っているわけですが、「くじを全部買う」というのは全然偶然じゃないよね。くじを全部買い占めれば、１本あたり８５円というのは、必然になってしまって、教科書の説明って、なんとなく違和感があるんだけど、君たちはどう思う？
くじを全部買うとき、「賞金総額の１本当たりは８５円」は必然だと思う。という生徒がほとんど。
Ｍ先生： そうだよね。宝くじを買う私の立場からするとね、くじを全部買い占めることなんて不可能なわけですよ。だから、くじのなかのほんの一部分だけを買う。私の場合は、一回に買うのは、１０本連番を２セットと、バラの１０本を１セットあわせて３０本がせいぜいでしょう。まあね、それだけでも１万円だな・・・。私の知っているある先生は、５万円ぐらいかけている人もいるようですが・・・。
Ｍ先生： くじを全部買い占めてしまう場合の１本あたりの期待される賞金が８５円というのは当たり前だと思うんだけど、このくじを１本だけ引くときにこれに期待される賞金が８５円というのはどう思う？
質問の意味がわからない様子の生徒が多いＭ先生： １０００本のくじのセットを２０００セットとか、いっぱい用意して、君たちに順番にくじを引いてもらうんだけど、１番目に引く人は、１つのセットから１本ひく。次に引く人は、１番目に引いたセットからではなくて、別の新しいセットから引く、３番目の人も、新しいセットから１本ひく、・・・とやっていく。だから、１等賞が５本でたからといって、もう出ないということはないわけですよ。そのかわりはずれが少なくなっていくわけでもない。つねに、同じ確率で当たる状態になりますね。こういう場合にも、１本あたり８５円だと思いますか？
順番に一人ひとり答えを聞いていく。半分の生徒に聞いたところで同じだと思う生徒 と 違うものだという生徒 と半々である。
Ｍ先生： 私もね、いま考えているところです。もともと確率を考えるということは、考える対象としては偶然に左右されることについてです。偶然に左右されるから、次に何がおこるか予測することは出来ないのですが、何回も何回も回数を重ねていくといろいろなことが起こる比率が一定の値に近づいていき、その値を考えて「確率」と思うわけです。コインを投げて表が１０回続いたから次は裏が出るなんてことは言えないという事柄を考えているのです。だから、１セットのくじをみんなで引くのとは、違うのではないだろうか・・・。一人一人、全部違うセットのくじを引く場合を考えるのが本当なんではないか・・・。
おなじかもしれない
生徒４： でも、先生！ 何回も何回も繰り返しやったときに、１等がでる比率は ５／１０００とか、、２等がでる比率は ２０／１０００ とかにだんだん近づいていくんでしょう。そうすると、一人ひとりのもらえる賞金の総額っていうのも、１セットを買い占めたときの比率に近づいていくんじゃないかな・・・。
Ｍ先生： うん、そうかな？ そうかもしれない。みんなはどう思う？
残りの生徒にまた一人一人聞いてみる同じと答える生徒が多くなった・・・
Ｍ先生： 同じという生徒が多くなってきたようですが、どうでしょう？考えを変更する人は変更して、もう一度聞いてみようかな手をあげてね・・・
同じと答える生徒が大分・・・違うと答える生徒も不安な様子・・・
Ｍ先生： いずれ、期待値というのは、くじを１セット買い占めるときの１本あたりの平均値という概念ではないということは、みんなわかってもらえたようですね。それでも、あることが起こる比率がある値に近づいていくということから、１本あたりの賞金金額も、平均値に近づいて行きそうな気がしてきましたね。この値のことを、「期待値」というわけです。教科書に定義がありますから、みてみましょう。
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