確率の授業11

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授業の実況中継・・・確率を終わって


授業11時間目

三省堂旧版教科書 高等学校の確率・統計より
ある晩悪魔がやってきて、私にこんな賭をすすめた。
「これから10円玉を何回も投げるよ。1回でも表が出たら勝負は終わりで賞金を払う。第1回目に表が出たら賞金は2円だ、1回目に裏で2回目に表が出たら賞金は4円だ。裏が出るたびに賞金は倍額になる。19回裏が出続けて、20回目に表が出たら、賞金はざっと100万円だ。ところで、君は最初にいくらか払わなきゃいけない。いくらにしようか?」

 私は期待値を計算してみた。。「金額×確率」を計算して、次のように足し合せればよい。
  2円×1/2 + 4円×1/4 + 8×1/8 + ・・・

おやこれは、1+1+1+・・・、無限大ではないか?

「そうなんだよ。君は絶対、トクなんだ。どうだい、10万円ぐらい払ったら?」

M先生: 確率も一通り終わったのですが、今日はもう一度最初の賭けの話にもどりましょう。
最初にみんなに読んでもらったペテルスブルグの賭けの話は、途中省略されている部分がありました。今日は省略なしで見てみましょう。昨日勉強した「期待値」という言葉がありますね。今日はもう、書いてあることが全部わかると思います。

生徒1: 期待値無限大って、どういうことだろう?

M先生:  というわけで考えてみよう!

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ペテルスブルグの賭けの期待値

M先生: 授業でやったときには、
   1回め表が出れば1円、
   1回目裏が出て、2回目表が出れば2円、
   1回目裏・2回目裏が出て、3回目表が出れば4円、
   1回目裏・2回目裏・3回目裏と出て、4回目に表が出れば8円
   ・・・・
としてやったわけですが、上の文章では2円から始まっていますね。そこが違うことをちょっと注意しておいて・・・

 期待値を計算するためには、とり得る賞金について、その賞金をもらえる確率を計算しなければなりません。まず、とり得る賞金というのは、いくらだろうか?

生徒1:  1円か2円か4円か8円・・・

M先生:  そうだね、1回目で表が出れば1円、2回目で初めて表が出れば2円、3回目で初めて表が出れば22=4円、4回目で初めて表が出れば、23=8円・・・では、n回目で初めて表が出れば?・・・

生徒2:  2n円!

M先生: そうだろうか?もう一度よく考えてみて・・・

生徒2:  2n-1円!

M先生: そうだね。
では、次の各賞金についての確率を考えてみよう。

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M先生: はじめに、賞金が1円のときの確率は?

生徒3: 1回目に表が出る確率だから、1/2

M先生: そのとおり。じゃあ、次に賞金が2円の確率は?

生徒4: 1回目に裏が出て、2回目に表が出る確率だから、(1/2)2=1/4 !

M先生: そのとおり。じゃあ、次に賞金が4円の確率は?

生徒5: (1/2)3=1/8 !

M先生: ピンポン! じゃあ、次に賞金が8円の確率は?

生徒6: (1/2)3=1/16 !

M先生: そうだね。だいたいわかってきたようだね。 じゃあ、次に賞金が2n-1円の確率は?

生徒7: (1/2)n !

M先生: これをまとめてみましょう。

賞金1円2円4円8円・・・・・n-1・・・・・・
確率1/21/41/81/16 1/2n 

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・・・はどういうこと?

生徒1: 先生! 賞金が 2n-1 の次の・・・はどこまで続くんですか?

M先生: どう思う?

生徒2: ずっと続く!

生徒1: え?! ずっと続くの? 確率の合計が1にならないとだめなんでしょう?

生徒2: だって、裏が出続ければ、賞金はどんどん高くなるよ。

M先生: ・・・にやにや・・・ 確率の和だけど、半分半分・・・とやっていって、その合計の和がどうなるかは、この図を見てもらえばいいと思います。

M先生:  というわけで、期待値を計算すると、
   1×1/2 + 2×1/4 + 4×1/8+・・・+2n-1×1/2n+ ・・・
となります。
 これは、計算すると
   1/2+1/2+1/2+・・・+1/2+・・・
となってね、どんどん足していくといくらでも大きくなるかな。

生徒1: どんどん足すってとこが、どうもなあ・・・


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