授業の実況中継・・・確率を終わって
授業１１時間目
三省堂旧版教科書 高等学校の確率・統計より
ある晩悪魔がやってきて、私にこんな賭をすすめた。
「これから10円玉を何回も投げるよ。１回でも表が出たら勝負は終わりで賞金を払う。第１回目に表が出たら賞金は２円だ、１回目に裏で２回目に表が出たら賞金は４円だ。裏が出るたびに賞金は倍額になる。１９回裏が出続けて、２０回目に表が出たら、賞金はざっと１００万円だ。ところで、君は最初にいくらか払わなきゃいけない。いくらにしようか？」
私は期待値を計算してみた。。「金額×確率」を計算して、次のように足し合せればよい。
２円×１／２ ＋ ４円×１／４ ＋ ８×１／８ ＋ ・・・
おやこれは、１＋１＋１＋・・・、無限大ではないか？
「そうなんだよ。君は絶対、トクなんだ。どうだい、１０万円ぐらい払ったら？」
Ｍ先生：
確率も一通り終わったのですが、今日はもう一度最初の賭けの話にもどりましょう。
最初にみんなに読んでもらったペテルスブルグの賭けの話は、途中省略されている部分がありました。今日は省略なしで見てみましょう。昨日勉強した「期待値」という言葉がありますね。今日はもう、書いてあることが全部わかると思います。
生徒１： 期待値無限大って、どういうことだろう？
Ｍ先生： というわけで考えてみよう！
ペテルスブルグの賭けの期待値
Ｍ先生：
授業でやったときには、
１回め表が出れば１円、
１回目裏が出て、２回目表が出れば２円、
１回目裏・２回目裏が出て、３回目表が出れば４円、
１回目裏・２回目裏・３回目裏と出て、４回目に表が出れば８円
・・・・
としてやったわけですが、上の文章では２円から始まっていますね。そこが違うことをちょっと注意しておいて・・・
期待値を計算するためには、とり得る賞金について、その賞金をもらえる確率を計算しなければなりません。まず、とり得る賞金というのは、いくらだろうか？
生徒１： １円か２円か４円か８円・・・
Ｍ先生： そうだね、１回目で表が出れば１円、２回目で初めて表が出れば２円、３回目で初めて表が出れば２2＝４円、４回目で初めて表が出れば、２3＝８円・・・では、ｎ回目で初めて表が出れば？・・・
生徒２： ２n円！
Ｍ先生： そうだろうか？もう一度よく考えてみて・・・
生徒２： ２n-1円！
Ｍ先生：
そうだね。
では、次の各賞金についての確率を考えてみよう。
Ｍ先生： はじめに、賞金が１円のときの確率は？
生徒３： １回目に表が出る確率だから、１／２
Ｍ先生： そのとおり。じゃあ、次に賞金が２円の確率は？
生徒４： １回目に裏が出て、２回目に表が出る確率だから、（１／２）2＝１／４ ！
Ｍ先生： そのとおり。じゃあ、次に賞金が４円の確率は？
生徒５： （１／２）3＝１／８ ！
Ｍ先生： ピンポン！ じゃあ、次に賞金が８円の確率は？
生徒６： （１／２）3＝１／１６ ！
Ｍ先生： そうだね。だいたいわかってきたようだね。 じゃあ、次に賞金が２n-1円の確率は？
生徒７： （１／２）n ！
Ｍ先生： これをまとめてみましょう。
| 賞金 | １円 | ２円 | ４円 | ８円 | ・・・・・ | ２n-1円 | ・・・・・・ |
| 確率 | １／２ | １／４ | １／８ | １／１６ | １／２n |
・・・はどういうこと？
生徒１： 先生！ 賞金が ２n-1 の次の・・・はどこまで続くんですか？
Ｍ先生： どう思う？
生徒２： ずっと続く！
生徒１： え？！ ずっと続くの？ 確率の合計が１にならないとだめなんでしょう？
生徒２： だって、裏が出続ければ、賞金はどんどん高くなるよ。
Ｍ先生： ・・・にやにや・・・ 確率の和だけど、半分半分・・・とやっていって、その合計の和がどうなるかは、この図を見てもらえばいいと思います。
Ｍ先生：
というわけで、期待値を計算すると、
１×１／２ ＋ ２×１／４ ＋ ４×１／８＋・・・＋２n-1×１／２n＋ ・・・
となります。
これは、計算すると
１／２＋１／２＋１／２＋・・・＋１／２＋・・・
となってね、どんどん足していくといくらでも大きくなるかな。
生徒１： どんどん足すってとこが、どうもなあ・・・
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