ねずみ=ネコ ワンダーランド(5)

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5.平和な時代2



 天地をゆるがす大嵐のあと、新しい時代が始まりました。

 大成元年。ホワイトランドには2ラットのホワイトねずみがいました。ネコ神との契約のために、隣のブラックランドから4ラットのブラックねずみを捕獲、移送されてきました。

 大成n年の人口・・・チュー口をanとすると、a1
となる。これからスタートである。

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 人口動向・・・チュー口動向は、ホワイツとブラックの数を区別して書いてみると、
    a1
    a2=3×a1−8=3×()−   =2×34×3−8  =2×3
    a3=3×a2−8=3×(2×3)−2×324×3−82×32
    a4=3×a3−8=3×(2×32)−2×334×3−82×33
    a5=3×a4−8=3×(2×33)−2×344×3−82×34
    a6=3×a5−8=3×(2×34)−2×354×3−82×35

 したがって、an=2×3n-1+4ということが帰納される。+4はブラックスの数であることはいうまでもなく、ホワイツの数2×3n-1は、ネコ神へ人身御供・・・チュー身御供にはまったく影響されていない。ホワイツにとっては、先の平和な時代とまったく同じ繁殖をすることがわかる。平和である。




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 ところで、ブラックス導入の適正な数4はどのようにして求められるのだろうか。

 1年経過後3倍になってネコ神に8ラット差出した残りがもとと同じ数になるという、
   α=3αー8
という方程式を解くことによって、
   α=4
という値が得られるのである。

 以上のことから、漸化式an+1=pan−qによって定義される数列{an}の一般項を求める方法がわかる。

  1. α=pα−qをみたすαを求める。(導入するブラックスの適正値を求める)
  2. n+1=pan−qの両辺からα=pα−qを引いて、数列{an−α}を考える。(ホワイツだけの増殖を考える)
  3. n+1−α=p(an−α)より、数列{an−α}は初項a1−α、公比pの等比数列になるので、一般項は
       an−α=(a1−α)×pn-1
    となる。(ホワイツの人口動向である)
  4. 一般項が、an=(a1−α)×pn-1+αというようにわかる。(ホワイツ、ブラックスあわせた人口動向である)

 これで、ネコ神に人身御供を提供する大成時代の人口動向がすべてわかってしまった。平和な時代と同様、この平和な時代2も、すぐに人口爆発しこの世の終末を迎えることになる。

 暗い未来を考えながら、「みやじ」はリセットボタンに手を伸ばした。

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