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５．平和な時代２

　天地をゆるがす大嵐のあと、新しい時代が始まりました。

　大成元年。ホワイトランドには２ラットのホワイトねずみがいました。ネコ神との契約のために、隣のブラックランドから４ラットのブラックねずみを捕獲、移送されてきました。

　大成ｎ年の人口・・・チュー口をａ_nとすると、ａ₁＝２＋４
となる。これからスタートである。

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　人口動向・・・チュー口動向は、ホワイツとブラックの数を区別して書いてみると、
　　　　ａ₁＝２＋４
　　　　ａ₂＝３×ａ₁−８＝３×（２＋４）−８ 　　＝２×３＋４×３−８ 　＝２×３＋４
　　　　ａ₃＝３×ａ₂−８＝３×（２×３＋４）−８ ＝２×３²＋４×３−８ ＝２×３²＋４
　　　　ａ₄＝３×ａ₃−８＝３×（２×３²＋４）−８ ＝２×３³＋４×３−８ ＝２×３³＋４
　　　　ａ₅＝３×ａ₄−８＝３×（２×３³＋４）−８ ＝２×３⁴＋４×３−８ ＝２×３⁴＋４
　　　　ａ₆＝３×ａ₅−８＝３×（２×３⁴＋４）−８ ＝２×３⁵＋４×３−８ ＝２×３⁵＋４

　したがって、ａ_n＝２×３^n-1＋４ということが帰納される。＋４はブラックスの数であることはいうまでもなく、ホワイツの数２×３^n-1は、ネコ神へ人身御供・・・チュー身御供にはまったく影響されていない。ホワイツにとっては、先の平和な時代とまったく同じ繁殖をすることがわかる。平和である。

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　ところで、ブラックス導入の適正な数４はどのようにして求められるのだろうか。

　１年経過後３倍になってネコ神に８ラット差出した残りがもとと同じ数になるという、
　　　α＝３αー８
という方程式を解くことによって、
　　　α＝４
という値が得られるのである。

　以上のことから、漸化式ａ_n+1＝ｐａ_n−ｑによって定義される数列｛ａ_n｝の一般項を求める方法がわかる。

1. α＝ｐα−ｑをみたすαを求める。（導入するブラックスの適正値を求める）
2. ａ_n+1＝ｐａ_n−ｑの両辺からα＝ｐα−ｑを引いて、数列｛ａ_n−α｝を考える。（ホワイツだけの増殖を考える）
3. ａ_n+1−α＝ｐ（ａ_n−α）より、数列｛ａ_n−α｝は初項ａ₁−α、公比ｐの等比数列になるので、一般項は
   　　　ａ_n−α＝（ａ₁−α）×ｐ^n-1
   となる。（ホワイツの人口動向である）
4. 一般項が、ａ_n＝（ａ₁−α）×ｐ^n-1＋αというようにわかる。（ホワイツ、ブラックスあわせた人口動向である）

　これで、ネコ神に人身御供を提供する大成時代の人口動向がすべてわかってしまった。平和な時代と同様、この平和な時代２も、すぐに人口爆発しこの世の終末を迎えることになる。

　暗い未来を考えながら、「みやじ」はリセットボタンに手を伸ばした。

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