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８．増殖するネコ神

　労せずして安定してねずみが手に入るため、ネコ神はすっかりホワイトランドが気に入ってしまったようだ。本格的にこの大陸に住み着いてしまった。そして、ネコ神は毎年２倍という勢いでしはじめた。しかも、こともあろうに、どのネコ神も、年４ラットのねずみを要求してきたのである。

　大成元年のネコ神族は１ラットであり、要求するねずみは４ラットであった。大成２年には、ネコ神族は２倍に増えて２ラットとなり、、それぞれが４ラットずつのねずみを要求してくる。したがって、犠牲になるねずみは４×２ラットとなる。ネコ神族とねずみ族の人口の推移と、犠牲となるねずみ族の数を計算してみよう。

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　大成ｎ年に ａ_nラットいるねずみは、１年間で３ａ_nラットとなり、この中から２^n-1ラットいる各ネコ神に４ラットずつ、総計４×２^n-1ラット差し出すことになるので、大成(ｎ＋１)年のねずみの数ａ_n+1は、
　　ａ_n+1＝３ａ_n−４×２^n-1
となる。

　ホワイツ社会は蜂の巣をつついたような騒ぎとなった。そして、今回もまたブラックスの人身御供作戦で切り抜けることにした。そしてまた、必要最小限のブラックスの数の検討を始めた｡

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ブラックスの数について見てみると、

初期値　ａ₁＝３とすると　　　　　　初期値　ａ₁＝４とすると　　　　　　　初期値　ａ₁＝５とすると
ａ₂＝　　３×３−４×１＝　　５　　　ａ₂＝　　４×３−４×１＝　　８　　　ａ₂＝　　５×３−４×１＝　１１
ａ₃＝　　５×３−４×２＝　　７　　　ａ₃＝　　８×３−４×２＝　１６　　　ａ₃＝　１１×３−４×２＝　２５
ａ₄＝　　７×３−４×４＝　　５　　　ａ₄＝　１６×３−４×４＝　３２　　　ａ₄＝　２５×３−４×４＝　５９
ａ₅＝　　５×３−４×８＝−１７　　　ａ₅＝　３２×３−４×８＝　６４　　　ａ₅＝　５９×３−４×８＝１４５
　全滅！　　　　　　　　　　　　　　ネコ神族と同じペースで増える　　　ネコ神族よりも早いペースで増える

　これを見ると、最初に導入するブラックスは４ラットしかない。３ラット以下だとブラックスは全滅するし、５ラット以上だと増えすぎる。初期値ａ₁＝４とすると、ブラックスの数は公比２の等比数列となる。ネコ神の数が同じく等比２の等比数列となるのだから、これはいたしかたないだろう。ホワイツの数は公比３の等比数列となるのだから、増えるブラックスの数を凌駕することになり、社会全体も安定に保たれるだろう。

　このようなシミュレーションの結果、ホワイツたちはブラックランドから４ラットのブラックねずみ族を連れてくることを決定し、さっそく捕獲隊を派遣した。

　そして、何も知らないブラックス４ラットがホワイトランドに連れてこられて大成の時代が始まった。

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　大成年間は、このようにしてブラックランドから４ラット捕獲して、ホワイト２ラットで始まった。大成ｎ年のホワイツの数をｗ_n、ブラックスの数をｂ_nとすると、ねずみ族の数ａ_nは、
　　ａ_n＝ｗ_n＋ｂ_n
　　ｗ₁＝２、ｂ₁＝４
であって、ねずみ族の増え方は、
　　ａ_n+1＝３ａ_n−４×２^n-1
となる。

　　　　ａ₁＝２＋４
　　　　ａ₂＝３×ａ₁−４×１＝３×（２＋４）−４×１ 　　＝２×３＋４×３−４×１ 　＝２×３＋８
　　　　ａ₃＝３×ａ₂−４×２＝３×（２×３＋８）−４×２ ＝２×３²＋８×３−８ ＝２×３²＋１６
　　　　ａ₄＝３×ａ₃−４×４＝３×（２×３²＋１６）−４×４ ＝２×３³＋１６×３−４×４ ＝２×３³＋３２
　　　　ａ₅＝３×ａ₄−４×８＝３×（２×３³＋３２）−４×８ ＝２×３⁴＋３２×３−４×８ ＝２×３⁴＋６４
　　　　ａ₆＝３×ａ₅−４×１６＝３×（２×３⁴＋６４）−４×１６ ＝２×３⁵＋６４×３−４×３２ ＝２×３⁵＋１２８

　したがって、ａ_n＝２×３^n-1＋４×２^n-1ということが帰納される。

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