ねずみ=ネコ ワンダーランド(9)

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9.暗黒の分割統治

 大成3年、ネコ神の増加に対応するため大きな制度改革が行われた。ネコ神族はホワイトランドを分割統治することにしたのであった。

 これによって、ホワイトランドはネコ神の数の国に分けられた。そこに住むねずみ族もまた均等に分割されてそれぞれの国に属することとなった。

 ネコ神1ラットが支配するねずみ族の数pnは、したがって、an/2n-1となる。   pn=an/2n-1
この式から、   an=pn×2n-1、an+1=pn+1×2n  となるので、これを、an+1=3an−4×2n-1 に代入すると、
  pn+1×2n=3an×2n-1−4×2n-1
整理して、

        3
  pn+1= ― an−2
        2


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 この式は、5節平和な時代2で解法がわかった漸化式になっているではないか。

 この漸化式を解いてみよう。解き方は5節で見たとおりである。
  α=(3/2)×α−2
より、α=4となるから、これが最初に導入するブラックスの数で、この数を引くとホワイツの数になるので、両辺から4を引いて
  pn+1−4=(3/2)×pn+1−2−4
 =(3/2)×(pn+1−4)
となるから、ブラックスを除いたホワイツだけの変化は初項2公比3/2の等比数列となるので、
  pn−4=2×(3/2)n-1
となる。
  an=pn×2n-1
であるから、
  an=2×3n-1+4×2n-1

 この結果を見てみれば、8節増殖するネコ神で調べた結果と一致するのはもちろんであるが、さらに一般に
  an+1=p×an−q×rn
の形の漸化式を解くには、両辺をrnで割ればよいということもわかった。


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 毎年正月にネコ神たちはキャットランドに集まり、国境線を引きなおす。大成3年正月には8つの国であったが、大成4年には16の国に、そして、大成5年には32の国になっていった。こうなれば、広大なキャットランドはあっというまに無数のネコ神族の国に分割されていき、とうとうこれ以上分割できない状態になっていった。ネコ神、ねずみ族、ともに、有限のホワイトランドを食い潰し、破局へと向かった。


 みやじはリセットボタンを押した。


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