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９．暗黒の分割統治

　大成３年、ネコ神の増加に対応するため大きな制度改革が行われた。ネコ神族はホワイトランドを分割統治することにしたのであった。

　これによって、ホワイトランドはネコ神の数の国に分けられた。そこに住むねずみ族もまた均等に分割されてそれぞれの国に属することとなった。

　ネコ神１ラットが支配するねずみ族の数ｐ_nは、したがって、ａ_n／２^n-1となる。 　　ｐ_n＝ａ_n／２^n-1
この式から、 　　ａ_n＝ｐ_n×２^n-1、ａ_n+1＝ｐ_n+1×２ⁿ　 となるので、これを、ａ_n+1＝３ａ_n−４×２^n-1 に代入すると、
　　ｐ_n+1×２ⁿ＝３ａ_n×２^n-1−４×２^n-1
整理して、

　　　　　　　 ３
　　ｐ_n+1＝　―　ａ_n−２
　　　　　　　 ２

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　この漸化式を解いてみよう。解き方は５節で見たとおりである。
　　α＝（３／２）×α−２
より、α＝４となるから、これが最初に導入するブラックスの数で、この数を引くとホワイツの数になるので、両辺から４を引いて
　　ｐ_n+1−４＝（３／２）×ｐ_n+1−２−４
　＝（３／２）×（ｐ_n+1−４）
となるから、ブラックスを除いたホワイツだけの変化は初項２公比３／２の等比数列となるので、
　　ｐ_n−４＝２×（３／２）^n-1
となる。
　　ａ_n＝ｐ_n×２^n-1
であるから、
　　ａ_n＝２×３^n-1＋４×２^n-1

　この結果を見てみれば、８節増殖するネコ神で調べた結果と一致するのはもちろんであるが、さらに一般に
　　ａ_n+1＝ｐ×ａ_n−ｑ×ｒⁿ
の形の漸化式を解くには、両辺をｒⁿで割ればよいということもわかった。

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　毎年正月にネコ神たちはキャットランドに集まり、国境線を引きなおす。大成３年正月には８つの国であったが、大成４年には１６の国に、そして、大成５年には３２の国になっていった。こうなれば、広大なキャットランドはあっというまに無数のネコ神族の国に分割されていき、とうとうこれ以上分割できない状態になっていった。ネコ神、ねずみ族、ともに、有限のホワイトランドを食い潰し、破局へと向かった。

　みやじはリセットボタンを押した。

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