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中線定理の拡張

中線定理

 「中線定理」は「パップスの定理」とも呼ばれていて、ちょっと昔には 大学入試の幾何の問題のなかに、この定理を使う問題がいくつかあった。 最近はまったく出題されていないのではないだろうか。この定理を使う問題 を見つけるのに一苦労する。

 現在の高校の教科書の中では、「数学U」の「図形と方程式」の中の 例題となって出てくる。座標を利用して幾何の性質を証明する問題として でてくる。

 三角形ABCの辺BCの中点をMとすると、
  AB2+AC2 =2(AM2+BM2)
が成り立つ。

中線定理の拡張

 「中線」定理というからには、「中線」という条件を変えれば 成り立たないのだろう。しかし、点Mをいろいろ動かしてみることは できるであろう。このとき、どのような関係式が成り立つだろうか。

 教科書でこの中線定理を扱うときには 「線分BCをp:qに内分する点をDとして、どのような関係式が 成り立つか考えてみよう。」 という課題を出すことにしている。これに対して、次のような結果を 出してくれる。

 三角形ABCにおいて、辺BCをp:qに内分する点をDとすると
  qAB2+pAC2 =qBD2+pCD2+(p+q)AD2
が成り立つ。

証明

 θ=∠ADB とする。 三角形ABDに余弦定理を適用して、
  AB2 =AD2+BD2−2AD・BDcosθ
  AC2 =AD2+CD2−2AD・CDcos(180°−θ)
=AD2+CD2+2AD・CDcosθ
が成り立つ。

 ここで、BD:CD=p:q より、qBD=pCDが成り立つから、 上の2式に、それぞれ、p、qをかけて加えれば、
 qAB2+pAC2 =qBD2+pCD2+(p+q)AD2
が得られる。

注意

 p=q=1 とすれば、中線定理となることに注意!

中線定理の空間への拡張  取れたての定理!

 「取れたての定理です」第1巻では、「中線定理」を空間の四面体に対して 拡張して、次の定理を紹介している。

 四面体OABCにおいて、底面の三角形ABCの重心をGとすると、
   OA2+OB2+OC2= GA2+GB2+GC2+3OG2
が成り立つ。

 この定理を、「重心G」ではなくて、もっと一般の点にしたらどうなるだろうか 考えた。そして、できたのが次の定理である。

新定理


 四面体OABCにおいて、
  辺ABをp:qに内分する点をD
  辺BCをs:tに内分する点をE
  直線CDと直線AEの 交点をP
  直線BPと辺CAの交点をF
とする。


 このとき、
 qtOA2+ptOB2+psOC2
=qtPA2+ptPB2+psPC2 +(ps+pt+qt)OP2
が成り立つ。

新定理の証明

 メネラウスの定理より、
   p     s+t      EP
  −− × −−− × −−− = 1
   q      t       PA
が成り立つから、
   EP:PA = qt : p(s+t)
となる。
   そこで、三角形OAEに対して、拡張された中線定理を適用すると、
@ qtOA2+p(s+t)OE2 =qtPA2+p(s+t)PE2 +(ps+pt+qt)OP2
また、三角形OBCに対して適用すると、
A tOB2+sOC2 =tBE2+sCE2 +(s+t)OE2
さらに、三角形PBCに対して適用すると、
B tPB2+sPC2 =tBE2+sCE2 +(s+t)PE2
Aより、p(s+t)OE2=tpOB2+spOC2 −tpBE2−spCE2
Bより、p(s+t)PE2 =tpPB2+spPC2 −tpBE2−spCE2
この2つの式を@に代入して整理すると
 qtOA2+ptOB2+psOC2
=qtPA2+ptPB2+psPC2 +(ps+pt+qt)OP2
が成り立つ。

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