Ｍ先生：
これから数学的なベクトルというものを定義したい。「定義する」のだから，勝手に決めてもいいのだけれども，あとから文句が出ないようにしたい。いろいろまわりに合うように決めていかなければならないよね。
ベクトルの定義
さて，共通にあるものっていうのは，なんだろう？今までの話のなかで黒板に書いてきました。
まず第一に，どちらでも矢印で書けるということ。矢印！・・・「矢印」なんていうと，なんか数学らしくないですね。数学の教科書に「矢印」なんて書いてあると，家に帰って弟が見ても分かってしまう。もっと偉そうに言う方がいい。姉としての威厳を保てる。
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こんなもんでいいかな……。始点と終点を書いてＡからＢへ向かう矢印を表せそうですね。
この記号はどういう状況を表しているかというと・・・，
こういう平面を考えて，この平面上にある2点を指定します。ＡとＢ。最初に書いた方をスターティングポイントとして，最後に書いた方を終点とするという約束で矢印を表します。そして，「移動」や「力」というものに共通な性質をもっている数学的なものとして，この矢印を考えようというのです。そして，この矢印を表すものとして，こういう記号を使おうということです。
この記号，「ベクトルＡＢ」とでも読みましょうかね。「ＡＢベクトル」でもいいでしょう。
ベクトルが等しいとは？
Ｍ先生：
せっかく作るのだから，役に立つものを作りたいものです。カとか移動というものにうまくマッチするように作りたいですね。
まず，考察の対象となる「もの」としては，この矢印を考えるのです。例えば，こういうカとこういう力を合わせたらば，結果としてはこういう結果になります……というようなときに，この「等しい」ということはどういうことか，考えてみよう。
例えば，移動について考えてみよう。２つの移動を考えてみよう。盛岡があって，一関があって，仙台がある。盛岡と一関の間は90km，一関と仙台の間も90km。盛岡，一関，仙台は，南北に１直線に並んでいるとしましょう。
このとき，
●「盛岡から一関まで移動する」というこの移動
・・・と・・・
●「一関から仙台まで移動する」というこの移動
この2つの移動は同じものとして考えていいのか，違うものとして考えた方がいいのか・…‥。
１ 同じ ２ 適う ・・・ さあ，どっちだろう？
１ 同じだと思う人 ・・・ 全員手を挙げる
２ 違うと思う人 ・・・ 参観している先生が１人
３ その他 ・・・ なし
Ｍ先生：
じゃあ，別の例でいきましょう。力の例。
ここに2つの物があって，どちらも，同じ自動車が，まったく同じ方向に同じように引っ張る。同じアクセルの踏み具合・…‥みんな同じ。このとき，・・・・・・２つの違ったものに対して，こういう力が働くわけですが
……どうでしょう・・…・。
１ 同じだと思う人 ・・・ 全員手を挙げる
２ 違うと思う人 ・・・ なし
３ その他 ・・・ なし
すっかり同じ重さの2つを，違った場所で同じ方向，同じ具合に引くと，２つとも同じ運動をするんだろう・・・。
まあ，多数決だな。こういう２つの移動は同じと思うし，こういう２つの力は同じだと思うことにしよう。
どっちの場合も，矢印は同じ方向を向いているし，同じ長さをしています。こういうときに２つの矢印は「等しい」と思うことにすればいいのだろうか・・・。ということで，
ベクトルが等しいとは？
定義：平行移動でぴったり重なるときに「等しい」としよう。