6 授業の記録 その3

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ベクトルの演算

M先生:  では,次です。
「力を合わせる」「移動を合わせる」・・・ということから・・・、

2つのベクトルを「合わせる」とは?

 「合わせる」なんていうと,家に帰って弟にも分かってしまう。弟に分からないように「加法」ということにして,姉としての権威を高めよう。
 移動の場合には,こうやって矢印を縦ぎたしましたが,力のときには,こうやって平行四辺形を作ってその対角線とした。結果としては同じものになるから,どっちで定義してもいいでしょうね。後々,どっちも使うから,いちおう,どっちで定義しても同じ結果になるから,どっちも書いておこうかな。

● 矢印の始点を揃えて平行四辺形を作る。合わせた始点を始点として,平行四辺形の対角線のもう一方の点を終点とするベクトル・・・すなわち・・・

 こんなふうに,2つのベクトルがあります。こっちのベクトルを平行移動してこっちに持ってきても,平行移動してぴったり重なる2つのベクトルは等しいのだからいいわけですよね。始点を揃えておいて,こうやってできる平行四辺形を考えます。合わせた始点を始点とする,対角線で表されるこのベクトル・…‥のことを2つのベクトルの和という。

と考えてもいいし,

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● という和を,  の終点に,の始点を置いて,

 の始点を始点として,の終点を終点とするベクトル

のこととする。

と考えてもいい。もう一度図で考えましょう。
 がある,でがある。を平行移動して,その始点をの終点Bに重ねる。平行移動したから点の位置が変わりますから,こうやってと同じができて,こうやって矢印を縦ぎたして,最初の点Aを始点として,でを移動したの終点D'を終点とする。
こういうベクトルとしようということです。


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M先生:  最初の定義 と、

後で述べた定義 とは、

結局は同じベクトルになります。その場に応じて使いやすい方を使っていきます。


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M先生:  さて,ここでベクトルでもう1つ大事な性質があります。

  よく子供の喧嘩で,こういうやりとりを聞きます。

「おれのカは,お前の力より強いぞ!」
「そんなことないやい!おれの力の方がお前なんかより,2倍も強いぞ。」
「なにい!お前より100倍強いやい!」
「100倍の100倍強いんだから,俺の方が」
・・・・・
とかいうようなこと‥‥‥ありませんか?
ない? ・・・俺だけかな?・・・

 こういう矢印で表せる力と,それと同じ方向のカがあります。この2つの力の間に,こっちの方が,2倍強いとか3倍強いとか。そのように2つのカを「比較する」ということがよくあります。
 移動についても,今言ったように「比較する」ということがあります。

 こういうことは,ベクトルではどうしたらいいのでしょう?

 まあ,こういう比較をするには,2つのベクトルが同じ方向を向いていないと駄目なのですが・…‥。

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 同じ方向のベクトルがあって,一方のベクトルの長さを1としたときに,こっちのベクトルの長さが k のときに,
の k 倍」といって,
    = k 
と表すことにしましょう。

 ベクトルを「k倍する」というのは,ベクトルを方向は同じにしたまま,その長さを k 倍に伸ばしたり縮めたりするということでしょうね。

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