割り算で微分法1

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1.1 不等式 x2−4<0 を解け

J君 : 先生!、不等式 x2 −4< 0 はどうやって解くんですか?
M先生: 中学校では 2x+6 > 0 というような不等式を解いてきたね。
     この不等式はどうやって解くかというと・・・
     6を右辺へ移項して、   2x > −6
     つぎに両辺を2で割って、 x > −3
J君 : 同じようにやれば、・・・
     4を右辺に移行して、  x2<4
     したがって、x < ±2
M先生: たとえば、x=−4 は x<−2 なんだけれども、x2 =16 > 4 で だめだね。
J君 : どうしてだろう?
M先生: 移項するのは大丈夫だから、だめになるとすると、「x2<4 ⇒ x < ±2」の部分だけだな・・・。
J君 : x2=4 ⇒ x = ±2 はOKなんだけどなあ・・・
M先生: x2=4となるxは本当にx = ±2以外ないのかい?
J君 : 先生はいつもそうやってわかっていることもわからなくしてしまうなあ・・・。それ以外ないということを説明しろということね・・・。
M先生: 2x+6=0を満たすxが−3だけだということを説明できるかな?

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1.2 グラフを描くと・・・

M先生: y=2x+6 のグラフを描いてごらん。
J君 : いま考えているのは、方程式2x+6=0をみたすxが−3以外にないことを説明することですよね。
M先生: うんうん。そうだね。
J君 : グラフと方程式とどういう関係にあるんですか。
M先生: 関数 y=f(x) のグラフというのは、各xの値に対するyの値を全部計算してそれを座標平面上にプロットしたものだから、xが変化したときにyがどのように変化するか一目でわかるようになっています。関数の値の変化を調べたいときはまずグラフを描いてみるというのがいいでしょう。
J君 : はいはい、わかりましたよ。描けばいいでしょ。
M先生: このグラフを見て、何かわかるかな。
J君 : 確かに、グラフとx軸との交点がx=−3になっていますね。
M先生: 確かにね。それから、変化の仕方はどうなってる?
J君 : ああ、中学校で習ったなあ。変化率は一定ですね。
M先生: そうそう。関数 y=2x+6 は xがどこでも、いつも1行くと2上がるような変化率で一定なんだね。いつも増えつづける。・・・ということは?
J君 : ・・・ということはですね・・・、そうか、y=2x+6は増えつづけているから、x=−3で2x+6=0となったあとは、yはどんどん増えるだけで、これがまた0になることはないし、x=−3以前でも0になることがないんだ。
M先生: そうそう。よくできたね。

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1.3 方程式 x2−4=0 もグラフを描いて

M先生: んじゃあ、y=x2−4 のグラフも描いてみようか。
J君 : 中学校では y=x2 のグラフは描いたけどなあ・・・
M先生: そのときはどうやって描いたの?
J君 : 表を作って・・・
M先生: じゃあ同じようにやってみよう。

2-4 2-4 2-4 2-4 2-4 2-4
-3.0 5.00 -2.0 0.00 -1.0-3.00 0.0-4.00 1.0-3.00 2.0 0.00
-2.8 3.84 -1.8-0.76 -0.8-3.36 0.2-3.96 1.2-2.56 2.2 0.84
-2.6 2.76 -1.6-1.44 -0.6-3.54 0.4-3.84 1.4-2.04 2.4 1.76
-2.4 1.76 -1.4-2.04 -0.4-3.84 0.6-3.54 1.6-1.44 2.6 2.76
-2.2 0.84 -1.2-2.56 -0.2-3.96 0.8-3.36 1.8-0.76 2.8 3.84










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J君 : 表を作ってグラフを描くとこうなります。
このグラフを見ると、y=x2−4 のグラフは x=±2 で x軸と交わっていてますね。これ以外なさそうだとういうこともわかります。
M先生: わかることはそれだけじゃあないね。y=x2−4 のグラフ上の点で y>0 となる部分と y<0 となる部分もわかるね。y<0 ということは、x2−4<0 ということだから、最初の不等式の解も、−2<x<2 だということまでわかる。
J君 : 感動ですね〜・・・。
M先生: ところで、このグラフを描くときに表をつくったけれど、その表はxの値が 0.2 刻みでしか計算してないよね。
J君 : 中学校のときに表を作ったときには、xは1刻みでしか計算しませんでしたよ。
それに、先生はそれを滑らかに曲線で結ぶように言ってましたよ。
M先生: 本当にそれでいいのだろうか?



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