1.1 不等式 ｘ2−４<0 を解け
Ｊ君 ： 先生！、不等式 ｘ2 −４＜ 0 はどうやって解くんですか？
Ｍ先生： 中学校では ２ｘ＋６ ＞ 0 というような不等式を解いてきたね。
この不等式はどうやって解くかというと・・・
６を右辺へ移項して、 ２ｘ ＞ −６
つぎに両辺を２で割って、 ｘ ＞ −３
Ｊ君 ： 同じようにやれば、・・・
４を右辺に移行して、 ｘ2＜４
したがって、x ＜ ±２
Ｍ先生： たとえば、ｘ＝−４ は ｘ＜−２ なんだけれども、ｘ2 ＝１６ ＞ ４ で だめだね。
Ｊ君 ： どうしてだろう？
Ｍ先生： 移項するのは大丈夫だから、だめになるとすると、「ｘ2＜４ ⇒ x ＜ ±２」の部分だけだな・・・。
Ｊ君 ： ｘ2＝４ ⇒ x ＝ ±２ はＯＫなんだけどなあ・・・
Ｍ先生： ｘ2＝４となるｘは本当にx ＝ ±２以外ないのかい？
Ｊ君 ： 先生はいつもそうやってわかっていることもわからなくしてしまうなあ・・・。それ以外ないということを説明しろということね・・・。
Ｍ先生： ２ｘ＋６＝０を満たすｘが−３だけだということを説明できるかな？
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1.2 グラフを描くと・・・
Ｍ先生： ｙ＝２ｘ＋６ のグラフを描いてごらん。
Ｊ君 ： いま考えているのは、方程式２ｘ＋６＝０をみたすｘが−３以外にないことを説明することですよね。
Ｍ先生： うんうん。そうだね。
Ｊ君 ： グラフと方程式とどういう関係にあるんですか。
Ｍ先生： 関数 ｙ＝ｆ(ｘ) のグラフというのは、各ｘの値に対するｙの値を全部計算してそれを座標平面上にプロットしたものだから、ｘが変化したときにｙがどのように変化するか一目でわかるようになっています。関数の値の変化を調べたいときはまずグラフを描いてみるというのがいいでしょう。
Ｊ君 ： はいはい、わかりましたよ。描けばいいでしょ。
Ｍ先生： このグラフを見て、何かわかるかな。
Ｊ君 ： 確かに、グラフとｘ軸との交点がｘ＝−３になっていますね。
Ｍ先生： 確かにね。それから、変化の仕方はどうなってる？
Ｊ君 ： ああ、中学校で習ったなあ。変化率は一定ですね。
Ｍ先生： そうそう。関数 ｙ＝２ｘ＋６ は ｘがどこでも、いつも１行くと２上がるような変化率で一定なんだね。いつも増えつづける。・・・ということは？
Ｊ君 ： ・・・ということはですね・・・、そうか、ｙ＝２ｘ＋６は増えつづけているから、ｘ＝−３で２ｘ＋６＝０となったあとは、ｙはどんどん増えるだけで、これがまた０になることはないし、ｘ＝−３以前でも０になることがないんだ。
Ｍ先生： そうそう。よくできたね。
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1.3 方程式 ｘ2−４＝０ もグラフを描いて
Ｍ先生： んじゃあ、ｙ＝ｘ2−４ のグラフも描いてみようか。
Ｊ君 ： 中学校では ｙ＝ｘ2 のグラフは描いたけどなあ・・・
Ｍ先生： そのときはどうやって描いたの？
Ｊ君 ： 表を作って・・・
Ｍ先生： じゃあ同じようにやってみよう。
| ｘ | ｘ2-4 | | ｘ | ｘ2-4 | | ｘ | ｘ2-4 | | ｘ | ｘ2-4 | | ｘ | ｘ2-4 | | ｘ | ｘ2-4 |
| -3.0 | 5.00 | | -2.0 | 0.00 | | -1.0 | -3.00 | | 0.0 | -4.00 | | 1.0 | -3.00 | | 2.0 | 0.00 |
| -2.8 | 3.84 | | -1.8 | -0.76 | | -0.8 | -3.36 | | 0.2 | -3.96 | | 1.2 | -2.56 | | 2.2 | 0.84 |
| -2.6 | 2.76 | | -1.6 | -1.44 | | -0.6 | -3.54 | | 0.4 | -3.84 | | 1.4 | -2.04 | | 2.4 | 1.76 |
| -2.4 | 1.76 | | -1.4 | -2.04 | | -0.4 | -3.84 | | 0.6 | -3.54 | | 1.6 | -1.44 | | 2.6 | 2.76 |
| -2.2 | 0.84 | | -1.2 | -2.56 | | -0.2 | -3.96 | | 0.8 | -3.36 | | 1.8 | -0.76 | | 2.8 | 3.84 |
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Ｊ君 ： 表を作ってグラフを描くとこうなります。
このグラフを見ると、ｙ＝ｘ2−４ のグラフは ｘ＝±２ で ｘ軸と交わっていてますね。これ以外なさそうだとういうこともわかります。
Ｍ先生： わかることはそれだけじゃあないね。ｙ＝ｘ2−４ のグラフ上の点で ｙ＞０ となる部分と ｙ＜０ となる部分もわかるね。ｙ＜０ ということは、ｘ2−４＜０ ということだから、最初の不等式の解も、−２＜ｘ＜２ だということまでわかる。
Ｊ君 ： 感動ですね〜・・・。
Ｍ先生： ところで、このグラフを描くときに表をつくったけれど、その表はｘの値が ０．２ 刻みでしか計算してないよね。
Ｊ君 ： 中学校のときに表を作ったときには、ｘは１刻みでしか計算しませんでしたよ。
それに、先生はそれを滑らかに曲線で結ぶように言ってましたよ。
Ｍ先生： 本当にそれでいいのだろうか？
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