割り算で微分法2

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2.1 不等式 2x2−x+1<0 を解け

M先生: 不等式x2−4<0を解くときに y=x2−4のグラフを描いて、それを見てxがいろいろな値をとるときのx2−4の値の変化を見ました。だから、同じようにして2x2−x+1<0も解けるよね。
J君 : ということは、・・・
y=2x2−x+1のグラフを描けばよいということですが・・・
先生!こんなの勉強してませんよ。
M先生: うんうん。自分で考えてみようね。
とりあえず、いままでやってきた方法で見てみればいいのじゃないかな
J君 : 表を作ってみましょう。

 x  -3  -2  -1   0   1   2   3 
 y 2211412716

J君 : 表の点をプロットして、線で結べばいいのですね。
M先生: 本当に結んでいいのだろうか?

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2.2 結んでいいのか?

J君 : 中学校では結んできましたが、M先生はだめなようなことをおっしゃいますね。だめなんですか?
M先生: この表をもう少し詳しく計算してみないかい?そうするとわかると思うよ。
J君 : xの値が1刻みで表を作りましたが・・・
M先生: 0.5刻みでやってみようかな。
J君 : やってみようかなんて言ったって、どうせわたしがやるんだよね・・・。

 x  -3  -2.5  -2  -1.5  -1  -0.5   0  0.5   1  1.5   2  2.5   3 
 y 221611742112471116

M先生: 0から1のあたりをみてごらん。
J君 : 1刻みの表では、x=0のときy=1から、x=1のとき、y=2へと増加しているのに、0.5刻みに計算してみると、x=0.5のときy=1となって、変化しませんね・・・
M先生: もう少し細かく計算してみようかね
J君 : めんどうだけど、やってみようかな・・・

 x  -0.6  -0.4  -0.2  0  0.2  0.4  0.6  0.8  1.0   1.2  1.4  1.6 
 y 2.321.721.2810.880.921.121.4822.683.524.52

J君 : おお!x=0からx=0.2で減少してますね。
M先生: どうだね?今までは何気なく線で結んでいたが、点と点の間を詳しく計算してみると、どこからどこまで減少しているのか、増加しているのかわからないだろう。
J君 : なるほどなあ・・・、x=0からx=0.2で減少して、x=0.2からx=0.4で増加しているけど、この間ももう少し細かく計算してみれば減少してたりするかもしれませんね。
M先生: もう少し細かく計算してみなさい。

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 x  -0.4  -0.3  -0.2  -0.1  0.0  0.1  0.2  0.3  0.4   0.5  0.6  0.7  0.8  0.9  1.0  1.1  1.2 
 y 1.71.481.281.121.000.920.880.880.921.001.121.281.481.722.002.322.68

J君 : なるほど。中学校の時には何の疑問もなく直線や滑らかな曲線で結んだけど、計算した点と点の間でどんな変化をしているか、本当はわからないんですね。・・・ということは、今計算した0.1刻みの表でも同じですね。x=0.2とx=0.3でともにy=0.88となるけど、実はこの間で増えたり減ったりしているかもしれませんね。
M先生: そのとおりだね。だから、どこからどこまで増えていて、どこからどこまで減っているか、これをちゃんと調べないとだめなんだね。
J君 : そんなことができるんですか?
M先生: それが今日のテーマだよ。

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