割り算で微分法3

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3.1 x=0の近くの変化の様子を見てみよう

M先生: ・・・というわけで、この関数がx=0の近くではこれ以上じたばたしないという実感を得てもらうために、もっと細かく計算してもらおう。xを0.01刻みで計算してみようか・・・。
J君 : そんな・・・。今の計算だってずいぶん大変だったのに、もっとやるんですか?
M先生: ただ漠然として計算するのではなくて、「どうしてあんまりじたばたしないのだろうか?」と考えながら計算してみるときっと何かに気が付くと思うよ。がんばってみよう!
J君 : ぶつぶつ・・・

 x  -0.06  -0.05  -0.04  -0.03  -0.02  -0.01   0   0.01  0.02  0.03  0.04  0.05  0.06 
 y  1.0672  1.055  1.0432  1.318  1.208  1.0102  1  0.9902  0.9808  0.9718  0.9632  0.9550  0.9472 

M先生: 何か気が付いたかい?
J君 : いいえ、何も・・・。でもまあ、あんまり細かく計算しても意味がないなあ・・・。
M先生: どうしてかね?
J君 : 方眼紙で10cmを1に取っても、1mmの目盛りは0.01になる・・・。そうするとせいぜい0.005ぐらいまでしか点をプロットできませんね。だから、あんまり細かく計算しても無駄かもしれないなあ・・・。
M先生: なるほどねえ・・・、君が書いたグラフの大きさでは0.005以下の数字はグラフに反映されないわけだね。そうすると小数点以下4桁以下は計算しても無意味なんだ・・・

M先生: ということは、ちゃんと計算しなくても、0.005以下になる部分は最初から無視して楽することができるんじゃないかな?
J君 : ?どういうことですか?
M先生: どういうことか説明する前に、・・・何か、ほかに気がついたことはないかね?
J君 : 何かあるかなあ?・・・
M先生: 点をとるときにね、点の並び方で気づくことはなかったかな?
J君 : そういえば、この点を取るとき、xが1mm分大きくなると(0.01大きくなると)、yの方は1mm分小さくなるんですよ。まるで中学校のときに書いたy=−xのグラフのようでした。
M先生: ふむふむ・・・。正確には(0,1)を通ることから、y切片が1で、
  y=−x+1
のようだったんだろう?
J君 : まあ、そういうことですね。

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3.2 どうしてだろう?

  M先生: どうしてだろう? y=2x2−x+1 と y=−x+1 とは違う関数なんだけど、その値はほとんど同じになっているね。
J君 : 確かに値そのものは、x=0以外全て異なっています。だけど、点を取るときには同じになってしまう。それは、0.005より小さい値は小さすぎてグラフは違うように書けないのです。

 
 x  -0.04  -0.03  -0.02  -0.01  0.00   0.01   0.02  0.03 
 −x+1  1.0400  1.0300  1.0200  1.0100  1.0000  0.9900  0.9800  0.9700
 2x2−x+1  1.0432  1.0318  1.0208  1.0102  1.0000  0.9902  0.9808  0.9718

M先生: どうしてだろう? どうして、この2つの値は、これほど近い値を取るのだろう
J君 : 式は全然違うものです。1次関数と2次関数。全然違うのにほとんど同じ値をとるというのは、やっぱり理由があるんですか?
M先生: そんなに異なる式かな〜? 私にはかなり近い物に見えるけどね・・・
J君 : こういうときのM先生の口癖は・・・違う部分と似ている部分をよく見なさい・・・だったな・・・
M先生: ほう〜・・・、そんなことを私は言っているかなあ〜・・・
J君 : そうかあ・・・、違いは 2x2 だけで、−x+1 は共通している・・・。ということは、・・・
そうかあ・・・。2つの関数の値を異なるものにしているのは 2x2 だけです。xが0に近いと、 2x2 は、かなり小さくなってしまいます。それが理由ですね。
M先生: うん、よくできたね・・・。立派立派・・・。

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3.3 無視しよう!

  M先生: さてさて、そういうわけで、上の表を計算するとき、どうせグラフでは書き分けることができない0.005以下の差しか出ない部分は最初から計算しなくてもいいよね。
J君 : え?
  M先生: だからね、たとえば、xが−0.03のときには、
  y=2×(−0.03)2−(−0.03)+1
という計算になるけれども、
  2×(−0.03)2=2×0.0009=0.0018
となって、グラフの識別限界0.005以下だから、この項は無視できる項であることがわかるね。
J君 : そんな乱暴なことをいうなら、xが−0.03から0.03までの範囲だと、いつでも、2x2 は無視できるますよ。
M先生: そうすると、どうなるかね?
J君 : そうすると、
  y=2x2−x+1
の中の 2x2 が無視されて、そうすると、式は
  y=  −x+1
となってしまう・・・。
M先生: それが、式が違うけれども、グラフがそっくりな理由なんですね。

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