割り算で微分法4

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4.1 x と x2 と、どちらが大きい?

M先生: 無視したのは、2x2 の項だね。x2 の項は無視できるほど小さいというわけだね。
J君 : そういうことになりますね。ぼくは、x2 というのは x よりもうんと大きくなるものだとばかり思っていました。
M先生:  x と x2 と、どちらが大きいか、それが問題だ!
この際だから、x や x2 だけでなく、 x3  x4  x5  x6 も考えてみようか・・・。
J君 : またですか・・・もう計算するのはうんざりですよ。
M先生: うん、そうだね。もう状況がだいたい分かってきたから、この計算はコンピュータにまかせようかな。
M先生: このグラフを見てごらん。どちらが大きいかな?
J君 : どちらが・・・っていったって、場所によって違いますよ。x>1 では、x2 の方が大きいし、0<x<1 では x の方が大きいですよ。
M先生: そのとおりだね。君がさっき言ったように、xが1より大きくて、大きくなっていくとx2は急激に大きくなるね。ところが、xが0に近づいていくと、反対にxの方が大きくなるね。
J君 : x2だけでなく、 x3  x4  x5  x6 も同じですね。つまり、
0<x<1 では、
 x > x2 > x3 > x4 > x5 > x6
x > 1 では、
 x < x2 < x3 < x4 < x5 < x6
です。
先生、関数 y=x6 のグラフなんて初めて書きましたよ。すごい速さで大きくなりますね。
M先生: そうだね。関数 y=x6 のグラフなんて、もう書くことがないかもしれないな。
 ところで、xが0に近いときの変化の仕方はどうなっているかな?
J君 :  x が0から0.1ぐらいまでなんかは、小さすぎて点を取れませんでした。
M先生: そう。y=x なんかは、傾き1の一定の速さで大きくなっていくのに、この場合、全然増えていないようだね。本当は、確かにふえているのだけど、y=xに比べれば、「無視できる」というわけだね。
J君 : y=x6 は極端だね。でも他のy=x2なんかも大なり小なりそういう傾向がありますね。
M先生: そうだね。y=x2 もxが0から0.05くらいまでの範囲なら「無視できるね」

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4.2 もっと拡大してみよう。

  M先生: 関数 y=x と比べれば、他の関数は、xが0に近いときには、無視できる大きさでしかないということはわかっただろう。それでは、y=x2 と y=x3 を比べたときにはどうなるのだろう?
J君 : xが0から0.05ぐらいまではみんな無視できるぐらいから小さいからみんな同じかもしれない。でも、それより少し大きくなるとy=x2 に比べて y=x3 はずいぶん小さいような気がしますね。
  M先生: みんな無視できるかな? x に比べれば、そりゃあ無視できる大きさかもしれないけど、・・・。まあ、君は嫌がるかもしれないが、x=0付近を拡大してグラフを描いてもらおうかな。それから、y軸の目盛りの取り方をx軸の目盛りの50倍くらいにしてね・・・。
J君 : やれやれ
M先生: どうだい? 拡大してみると違いが見えるね。ところでね、x と x2 を比べると、 x2 は無視できるほど小さいのだったね。そして、グラフを拡大してみると、 x3 は x2 に比べて無視できるほど小さいのだね。考えてみれば、どっちも比をとると同じになるね。
J君 : x: x2 =  x2 : x3 = 1:x ですね。


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